素数之和与素数之积

数论爱好者

搜了一下本论坛,没有素数之和与素数之积的资料
小于10^n的素数之和
https://oeis.org/A046731
1  17
2  1060
3  76127
4  5736396
5  454396537
6  37550402023
7  3203324994356
8  279209790387276
9  24739512092254535
10  2220822432581729238
11  201467077743744681014
12  18435588552550705911377
13  1699246443377779418889494
14  157589260710736940541561021
15  14692398516908006398225702366
16  1376110854313351899159632866552
17  129408626276669278966252031311350
18  12212914292949226570880576733896687
19  1156251260549368082781614413945980126
20  109778913483063648128485839045703833541
21  10449550362130704786220283253063405651965
22  996973504763259668279213971353794878368213
23  95320530117168404458544684912403185555509650
24  9131187511156941634384410084928380134453142199
25  876268031750623105684911815303505535704119354853

素数之积
https://oeis.org/A002110

数论爱好者

怀疑素数之和计算是否正确,或许10^16之后,并不知道具体的素数,怎么相加?即便能相加,计算10^25里面的所有素数之和,时间上是否能容忍

northwolves

A006880        Number of primes < 10^n.
1 4
2 25
3 168
4 1229
5 9592
6 78498
7 664579
8 5761455
9 50847534
10 455052511
11 4118054813
12 37607912018
13 346065536839
14 3204941750802
15 29844570422669
16 279238341033925
17 2623557157654233
18 24739954287740860
19 234057667276344607
20 2220819602560918840
21 21127269486018731928
22 201467286689315906290
23 1925320391606803968923
24 18435599767349200867866
25 176846309399143769411680
26 1699246750872437141327603
27 16352460426841680446427399
28 157589269275973410412739598
29 1520698109714272166094258063

KeyTo9_Fans

我怀疑最好的算法，计算量仅为$\sqrt(10^n)$，但不知道怎么把这个算法给他设计出来

数论爱好者

万物都是有规律的,只是它躲得很深,一时找不到而已.
若把10^5里面的9592个素数全部相加,得其和为454396537,这个数有点接近10^10的素数分布个数.
因第9592个素数是99991,用两个算式逼近以下,发挥你的本事,继续提高其精度
99991^2/(ln(99991)^2-1),在素数较大时,一般计算的结果为下限,结果太小
Li(99991^2),计算结果过大

liuguangxi

参考这个链接

liuguangxi

https://github.com/kimwalisch/primesum
里面有具体代码实现及论文链接

数论爱好者

从参考链接看,在他们的电脑配置情况下,计算10^19用时330.01s,计算10^20用时1486.87s,用时倍数关系:4.5055倍,则计算10^26估计用时:1486.87×4.5055×6=40194.82秒,折合11.165小时
我的电脑配置可能超过100个小时.

数论爱好者

素数之积,难度极大
通项式或逼近公式:a(n): e^((1 + o(1))×n×ln(n)) ,这里n为第n个素数的系列号,如乘到97,n=25
从最初的几个积来看:计算从2×3×5×7×11×....的逼近计算公式用:e^x,这个x比较难搞定
e^((1 + o(1))×n×ln(n)) ,当n值小于10,(1 + o(1))小于1,当n大于等于10时,(1 + o(1))大于1
在计算2×3×5×7×11×....×97时,用e^((1 + 1/25)×25×ln(25)),此数值大体接近于真实值。
若能够使最高位的两位数字是精确数字,那么逼近它是不容易做到的,每前进一步计算,都可能要修改计算公式

白新岭

只是一种感觉，素数之和与自然数之和的比值与素数个数在自然数中占比基本相当。但是更接近的比值是n至n^2间的素数之和比上1至n^2内的自然数之和，与素数个数/自然数个数的比值更接近。比如从10到100之间有21个素数，它们的和是1043,1043/5050=0.206534653465347 ，素数个数/自然数个数=21/100，基本相符，在更大的区间段估计也有这种规律。素数之和/自然数之和   与   素数个数/自然数个数的比值相近，特别是比较n到n^2内的素数个数，及和值，与n^2前的自然数之和，及个数的比较，更相近。