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[求助] 是否存在4个全不同的正整数,其中两个的平方倒数和等于另两个的?

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发表于 2022-7-25 14:35:13 | 显示全部楼层 |阅读模式

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如 \[1/a^2+1/b^2=1/c^2+1/d^2\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-7-25 15:00:20 | 显示全部楼层
\[\frac{1}{10^2} + \frac{1}{55^2} = \frac{1}{11^2} + \frac{1}{22^2}\]
\[\frac{1}{525749^4} + \frac{1}{1407938^4} = \frac{1}{619913^4} + \frac{1}{624574^4}\]
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-7-25 15:29:09 来自手机 | 显示全部楼层
这个是有现成资料的:
https://oeis.org/A355812
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-7-27 14:04:36 | 显示全部楼层
\[\frac{1}{a_n^2}\ +\frac{1}{(a_n+1)^2}=\frac{1}{b_n^2}\ +\frac{1}{\bigl(a_n*(a_n+1)\bigr)^2}\]
  1. a(n)=1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449,11309768, 65918161, 384199200, 2239277041,13051463048, 76069501249, 443365544448, 2584123765441, 15061377048200,
  2. b(n)=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105, 7997214, 46611179, 271669860, 1583407981, 9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790,
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点评

b^2=(a^2+a)/2,可以化为一个Pell方程问题  发表于 2022-8-3 22:16
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-7-28 20:58:58 | 显示全部楼层
是否存在4个全不同的正整数,其中两个的平方倒数和等于另两个的?

当4个全不同的正整数中,出现 1, 2, 3, 4, 23, 43, 47, 53, 69, 73, 83, 89, 107, 109, 131, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 191, 211, 214, ...则无解。

各位网友!我们能把这串数找出来吗?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-8-6 02:30:10 | 显示全部楼层
\(\D\frac{1}{a_{n}^2\ }+\frac{1}{\big(a_{n}+1\big)^2\ \ \ }=\frac{1}{b_{n}^2\ }+\frac{1}{\big(a_{n}*(a_{n}+1)\big)^2\ \ \ \ \ }\)

a(n)=1, 8, 49, 288, 1681, 9800, 57121, 332928, 1940449,11309768, 65918161, 384199200, 2239277041,13051463048, 76069501249, 443365544448, 2584123765441, 15061377048200,
b(n)=1, 6, 35, 204, 1189, 6930, 40391, 235416, 1372105,  7997214, 46611179, 271669860, 1583407981,  9228778026, 53789260175, 313506783024, 1827251437969, 10650001844790,

\(\D a_{n}=\frac{\cosh\big(2n*arccsch(1)\big)-1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }{2}\)

\(\D b_{n}=\frac{\sinh\big(2n*arccsch(1)\big)\ \ \ \ \ \ \ \ \ }{\sqrt{\ 8\ }}\)

\(\D \frac{a_{n}}{b_{n}}=\sqrt{\ 2\ }\)

谢谢 xiaoshuchong!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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