硬币博弈与概率

fczlm

甲乙丙三人进行游戏，手里分别有1，2，3枚硬币，每轮游戏会等概率地随机选出一名优胜者，优胜者可以从其余两人中选出一人从他手里拿走一枚硬币。比如，甲是第一轮获胜者，他选择从乙手里拿硬币，则一轮后三人手里硬币数为（2，1，3）。若某人手里没有硬币了，则宣告他被淘汰，剩下二人继续进行游戏，直到某人手里拥有全部硬币，则该位获胜。

三人都会考虑最佳决策，并且没有私自串通。问三人获胜的概率分别是多少。

如果拓展至拥有(a,b,c)枚硬币呢。

两人情况比较简单，不涉及到策略选择，如果初始为(a,b)枚硬币，则获胜概率分别为a/(a+b)和b/(a+b)。

KeyTo9_Fans

好像策略无用？随意拿就行？胜率分别为a/(a+b+c)、b/(a+b+c)、c/(a+b+c)？

l4m2

经试验，若甲选择策略“拿走较多者的”，乙丙均随机，则结果为1278077:2106422:2615501

l4m2

KeyTo9_Fans 发表于 2022-8-2 23:45
好像策略无用？随意拿就行？胜率分别为a/(a+b+c)、b/(a+b+c)、c/(a+b+c)？

而如果三方均选择拿走较多一方的，那么胜率为2261676:1896171:1842153

KeyTo9_Fans

l4m2 发表于 2022-10-27 18:00
经试验，若甲选择策略“拿走较多者的”，乙丙均随机，则结果为1278077:2106422:2615501

你模拟错了，你得检查一下代码。

若甲选择策略“拿走较多者的”，乙丙均随机，模拟的结果应该是999262：2185525：2815213

若甲选择策略“拿走较少者的”，乙丙均随机，模拟的结果是1000588：1756660：3242752

若甲总是拿乙的，乙丙均随机，模拟的结果是1000529：1577059：3422412

若甲总是拿丙的，乙丙均随机，模拟的结果是1000650：2523972：2475378

若三人均随机，模拟的结果是1000893：1998823：3000284

总之，当乙丙均随机时，甲无论采取什么策略，胜率都是1/6

所以策略无用，只要其余玩家随机，剩下一个玩家无论采取什么策略，胜率都是(该玩家的硬币数)/(所有玩家的硬币数之和)

mathe

关键是无合谋，我们可以将乙和丙看成一个整体，那么甲开始a枚硬币，乙丙开始b+c枚硬币，每轮1/3概率甲从乙丙取一枚硬币，由于无合谋，有1/3概率乙丙内部变换可以认为无效论，有1/3概率乙丙从甲取一枚硬币，所以从两人博弈模型看，甲赢的概率为a/(a+b+c).