已知5只动物中有1只患有某种疾病，是逐只筛查好？还是分组筛查好？

jiewenji

已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为患病动物．下面是两种化验方案：
方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止。
方案乙：先取3只动物的血液进行混合，然后检查，若呈阳性，对这了只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不呈阳性，则检查剩下的2只动物中1只动物的血液。
分析哪种化验方案更好


我的思路如下，请老师看看思路错在哪里了？首先假设每次化验的成本是x元。

方案甲面临的情况是不放回的化验。所以应该应用超几何分布

花费      概率
x           \(\frac{C_1^1}{C_5^1}\) =1/5

2x        \(\frac{C_1^1C_4^1}{C_5^2}=\frac{2}{5}\)

3x         \(\frac{C_1^1C_4^2}{C_5^3}=\frac{3}{5}\)

4x         \(\frac{C_1^1C_4^3}{C_5^4}=\frac{4}{5}\)

如果抽取4都没有检测到患病的动物，就不用检测第5只了。所以甲方案的期望值应该用各行的花费*各行的概率就可以了。我想不出这个分析有什么问题，但是我发现一个问题，就是概率之和已经大于1 了。我觉得这不是问题，因为本质上这是4种不同的超几何分布。所以概率相加不等于1不是问题。
所以甲方案的期望值=6x  这明显不对。5只动物检测最多花费5x就可以了。我想问题出现在每一行 的概率实际上包含了上一行的概率。以第二行为例，当计算抽取两只动物就检测出患病动物的概率时，说明检测第一只动物时没有检测出病体。所以应该从第二种情况中减去第一种情况的期望。才是“纯粹的”情况2的期望。据此：
E(甲)=\(\frac{1x}{5}+\left( \frac{4x}{5}-\frac{1x}{5}\right)+\left( \frac{9x}{5}-\frac{3x}{5}-\frac{1x}{5}\right)+\left( \frac{16x}{5}-\frac{5x}{5}-\frac{3x}{5}-\frac{1x}{5}\right)\) =\(\frac{16x}{5}\)


不知道我的这个计算是否正确，如果错误。因为乙方案的计算当中也涉及到甲方案的思路，因此我想先搞懂甲方案的期望再计算乙方案的期望。

sheng_jianguo

你的计算有问题，抽取1次找到患病动物的概率+抽取2次找到患病动物的概率+抽取3次找到患病动物的概率+抽取4次找到患病动物的概率=1（决不会大于1），原因是这问题是排列问题（与先后次序有关）而不是组合问题，应该用排列公式计算。我的计算如下：
花费      概率
x           \(\frac{A_1^1}{A_5^1}=\frac{1}{5}\)

2x        \(\frac{A_4^1A_1^1}{A_5^2}=\frac{1}{5}\)

3x         \(\frac{A_4^2A_1^1}{A_5^3}=\frac{1}{5}\)

4x         \(\frac{A_4^3A_2^2}{A_5^4}=\frac{2}{5}\)

甲方案的数学期望
E(甲)=\(\frac{1x}{5}+\frac{2x}{5}+\frac{3x}{5}+\frac{8x}{5} =\frac{14x}{5}\)

jiewenji

sheng_jianguo 发表于 2022-8-12 21:20
你的计算有问题，抽取1次找到患病动物的概率+抽取2次找到患病动物的概率+抽取3次找到患病动物的概率+抽取4 ...

谢谢解答。我是按照超几何分布的角度去解这个问题的。我借用了组合，但不是从排列组合的角度看待这个问题。但是我错了。下面是这道题的解法。想请教的是方案甲属于哪种概率分布？我目前只学过两点分布，二项分布，超几何分布，正态分布。