在用向量点积推导出“函数内积等同于 函数乘积 积分”\(\triangle x\)造成的障碍

jiewenji

简单说。作者企图通过对两个函数在指定区间上均匀抽样，令抽样结果 变成向量f 和g  。把函数相乘 转化成函数抽样值形成的向量f和g的点积。(请看下方截图当中的红框)这说的通。但是为了从这里转化成积分，还必须将其转化为黎曼和并求极限。这就引入了 \(\triangle x\)   作者给出的理由是为了让它标准化！(请看截图中字幕上的红框)。这就引出了问题:

1、一旦在红框外引入了\(\triangle x\)  这就不再是“标准的向量点积”了。前面做的铺垫都白做了。既然基础都没了，在强行以此证明函数的点积就是函数在指定区间上的积分。这就解释不通了！

2、\(\triangle x\)   在这里的作用是标准化？我目前所知的标准化就是数据-均值 再除以标准差。  在这里乘以\(\triangle x\)  为什么就起到了标准化的作用？为什么要在这里进行标准化？合理性是什么？


以下是视频地址：点击后可以直接空降到截图中的画面！

https://www.bilibili.com/video/B ... bb2fdba&t=518.9




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当引入函数内积以后会产生一系列问题:
1、书中关于函数的长度给出如下定义：(见下图)。如果承接上文中提到的函数相乘后的积分看作函数内积。那么下面关于函数长度就应该看作函数的“模长”。但问题是什么是函数的模长？是sinx 在0-2pi区间内 曲线的长度？ 我觉得应该不对。因为 \(\left( \sin2x\right)^2;\left( \sin5x\right)^2;\left( \sin100x\right)^2\)   这些函数在0-2pi区间的积分都是 pi ，也就是它们的模长都是\(\sqrt{\pi}\)  ？？ 显然不对吧？这几个函数在0-2pi区间的曲线长度不可能相等吧？



2、向量内积有 \(a\cdot b\)=|a||b| cosθ    。按照上面引入函数长度的概念。那么两个函数f 和g 的内积是否也等于|f||g| cosθ？？ 向量的夹角容易在笛卡尔坐标中画出来。那两个函数夹角能在笛卡尔坐标中标识出来么？是否有函数夹角的概念存在呢？

3、如下图函数傅里叶级数的展开式。可以将f(x) 看作无穷多三角函数的线性组合。以上是建立在不同频率三角函数彼此正交的基础之上。说不同频率三角函数彼此正交，根据之一是 不同频率三角函数相乘 在0-2pi 积分结果等于0 。也就是不同频率三角函数内积等于0 ，进而推导出不同频率三角函数正交。但是这里面有个问题。你必须将积分上下限定在0-2pi 这个结论才成立。也就是说不同频率三角函数内积等于0是有条件成立，而不是无条件成立。
      对比之下，向量正交可是无条件的。比如向量(1,0）和(0,1) 任何情况下都彼此正交。所以这两个向量可以做正交基。但是不同频率三角函数彼此正交是有条件的(条件就是积分区间在0-2pi)，可是当你把他当作正交基用于傅里叶级数时，却没有加这个限定条件。那么在傅里叶级数展开式中，为什么不同频率的三角函数还能作正交基使用呢？



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在谷歌搜索函数内积，排第一的搜索结果是“内积空间”的维基百科链接。所以函数内积相关的内容是在内积空间 中重点讲的么？

ShuXueZhenMiHu

\( a \cdot b =|a||b|  \cos \theta  \) 只在  \( \mathbb{R} ^2 \) 或者 \( \mathbb{R} ^3 \) 或者 \( \mathbb{R} ^n \) 上成立。在函数组成的空间中函数夹角的概念不存在。即使是有限维空间，比如由 3行3列 矩阵定义的线性空间，也无法定义夹角。

范例2 中的用词 长度 应该被翻译成 范数 或者 模。 函数的范数跟对应曲线的长度没有关系。如果在一个空间中有了内积的定义，我们可以将任何元素 f 的范数定义为
\[ \| f \| =\sqrt{(f,f)} \]
我们之所以可以这样作，是因为 \( \sqrt{(x,x)}  \) 确实满足范数的定义。


百度百科 范数

例如 \( f=\sin x  \) ，如果 \( \sqrt{(f,f)} = \sqrt{\pi} \) ，我们称 f 的范数，即 \( \| f \| \) 或  \( \| \sin x \| \) ，是 \( \sqrt{\pi} \) 。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2022-8-20 20:58
\( a \cdot b =|a||b|  \cos \theta  \) 只在  \( \mathbb{R} ^2 \) 或者 \( \mathbb{R} ^3 \) 或者 \( \ma ...

谢谢你的回复。
1、如你所说“函数的范数跟对应曲线的长度没有关系。”  那么函数的范数有什么意义么？比如几何意义，经济意义？或者统计，概率方面的意义？

2、其次，如果说函数之间的夹角不存在。那么两个周期函数f和g  <f,g>/(||f||*||g||)   有任何数学意义么？如果有数学意义，那么是否存在几何意义，经济意义，统计意义，概率意义？

3、一楼截图中讲述的用黎曼和求极限的方式去理解函数内积，这个思想是否正确？如果正确，Δx 的困境如何绕过去？
     我发现有类似困惑的人网上还有很多，比如知乎上这个回答的评论中。很多人也有类似的困惑。但是没有看到有用的回复予以解答。

函数的内积为什么要这么定义？ - RagingBoson的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/29754921/answer/48219859

ShuXueZhenMiHu

1. 反正很重要就是了。
2. 我也不知道它有什么意义。
3. 我无法评论。跟你一样， 我也无法理解。

你需要一个内积的定义。



几个说明：
1. H可以是无限维，定义中的向量可以指代函数。
2. \((\cdot，\cdot)\) 是一个从 \( H \times H \)  到 \( \RR \) 上的函数，即 \((\cdot，\cdot) \colon H \times H \to \RR \) 。
3.  每一个满足条件的函数都可以称为线性空间H的内积，所以 H 上可以有多个内积。

所有连续函数 \( f  \colon  [a,b] \to \RR \) 组成的集合是一个线性空间，记作 \(\mathcal{C}[a,b] \)。

函数 \( F  \colon  \mathcal{C}[a,b] \times \mathcal{C}[a,b] \to \RR   \)，定义为
\[ F(f,g)=\int_{a}^{b} f(t)g(t) \,dt  \]
函数 \( H  \colon  \mathcal{C}[a,b] \times \mathcal{C}[a,b] \to \RR   \)，定义为
\[ H(f,g)=\int_{a}^{b}8f(t)g(t) \,dt  \]

根据定义，F 和 H 都是\(\mathcal{C}[a,b] \) 上的内积。