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[提问] 是否存这样的数列?

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发表于 2022-9-2 09:45:54 | 显示全部楼层 |阅读模式

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数列的每一项均为平方数,数列满足递推式F(n+2)=a*F(n+1)+b*F(n),a和b均不为0。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-9-2 11:14:09 | 显示全部楼层
有啊,取 a=2, b=-1,F(n) 所有项任取某同一个平方数即可

可用递归数列的特征方程证明:上述 a=2, b=-1 是唯一满足要求的组合
如果放宽“a和b均不为0”的要求,则 (a,b)=(0,0),(0,1),(1,0) 也是可行的组合

点评

我遗漏了特征方程根为平方数这一特殊情况了  发表于 2022-9-12 16:12
好像a和b不止这些,见下面我的解答,不知是否有问题,还有其它解吗?  发表于 2022-9-9 20:54
好的,谢谢,按你说的,应该只有这种特例了,没有那种比较常规的,对于不同的N有不同的值的,三次递归的是存在的,而且很多,任何一个二次递归的数列的平方就得到一个三次递归的。  发表于 2022-9-2 19:38
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-9-9 20:46:22 | 显示全部楼层
满足要求的a和b有很多:
此数列对应的特征方程为 `t^2=at+b`
若`α`是特征方程的实根,则数列满足
`F(n)=Aα^{n-1}+BG(n-1) `,其中`A、B`是待定常数
要使每个`n(n≥1),F(n) `均是平方数,则`B=0`,所以
`F(n)=Aα^{n-1} `
也就是说,任给整数`k (k≥0),m (m≥1)`及`a (a≠m^2,a≠0),  a`可以不是整数(如分数等实数),解方程算出:
`b=m^4-m^2a`
`α=m^2`
`A=k^2`
则数列`F(n)=Aα^{n-1} `就是满足要求的所求数列。

例如:
1. 取`k=1,m=1,a=3,`计算得出`b=-2,α=1,A=1`
求得`F(n)=1`,即`F(1),F(2),F(3),...=1,1,1,...`
2. 取`k=1,m=2,a=2,`  计算得出 `b=8,α=4,A=1`
求得`F(n)=4^{n-1}`,即`F(1),F(2),F(3),...=1,4,16,...`
3. 取`k=2,m=2,a=-3,`计算得出`b=28,α=4,A=4`
求得`F(n)=4*4^{n-1}`,即`F(1),F(2),F(3),...=4,16,64,...`

点评

为平方数的等比数列  发表于 2022-9-13 09:10
感谢,有理数的等比数列都满足要求,a(n)=A*Q^n,则a(n+2)=A*Q^(n+2)=(Q-B)*A*Q^(n+1)+B*Q*A*Q^n=(Q-B)*a(n+1)+B*Q*a(n)  发表于 2022-9-13 09:09
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