稠密性证明方法1的困惑

jiewenji

摘自《普林斯顿数学分析读本》P41
问题：
1、请看下图红线部分，似乎是只想在x和y之间仅仅放置一个m/n，为什么非要这么严格呢？假设n足够大，让\(\frac{m}{n}\)  和\(\frac{m+1}{n}\)    \(\frac{m+2}{n}\)  都落在x和y之间有什么不可以么？或者会影响后面的证明么？

2、蓝线部分，良序原理成立的原因为什么是“1是N的下界”？N的每个非空子集都有一个最小元，考虑到N是有序集，这不是很明显的事情么？为什么还要以“1是N的下界”作为良序定理成立的原因呢？

3、绿色下划线，既然\(nx=1-m_2\)     为什么\(nx\ge m-1\)  而不是等于m-1 或小于等于m-1  ，这都与\(nx=1-m_2\) 的假设并不矛盾啊！


最后。感觉这个证明为什么这么复杂。既然假设n足够大 使得\(\frac{1}{n}{,}\frac{2}{n}{,}\frac{3}{n}\)…………至少有一个落在x和y之间。甚之可以有超过一个落在x和y之间。这不就已经证明“稠密性”了么？反正这些都是有理数。在下面的证明中这是全部证明的起点和基础。但是我觉得这里就已经足够证明整个“稠密性”成立了？为什么要有后面那么多步骤？




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