任意整数能否修改O(1)位变成质数

数论爱好者

我就不是素数!看你怎么办
迈克尔数是不是就是研究无论底数a怎么变,迈克尔数始终是合数,所有判定都符合素数判定,就不是素数.
https://oeis.org/A006931
随着数的增大,迈克尔数也是无穷大.当10^18时,有140万个迈克尔数
https://arxiv.org/pdf/math/0604376.pdf

数论爱好者

最大的迈克尔数已经研究到35位了:112505380450296606970338459629988782604252033209350010888227147338120001

数论爱好者

在自然数的平方序列中:1,14,149,14916,1491625...仅发现一个素数149,其余都不是素数,发现一个很难.
参考:https://oeis.org/A019521
它说:a(3)=149 is the only prime up to n=4000.

数论爱好者

在立方数序列中是否有素数发现不得而知.
1, 18, 1827, 182764, 182764125, 182764125216, 182764125216343, 182764125216343512, 182764125216343512729, 1827641252163435127291000, 18276412521634351272910001331, 182764125216343512729100013311728

数论爱好者

还是跟素数过不去,下面这个问题,帮忙研究一下.
自然数按下列排序,
第一层1
第二层2,3
第三层4,5,6
......
以后每层比上层多一个自然数,有人乱猜想,出第一层外,以后的每一层都会找到一个素数.但我想把10亿里面的数按上述排列一下,能不能发现反例,某一层一个素数也没有.
通项式还没有搞出来,最右边一组数据的参考值如下:
https://oeis.org/A000217
https://oeis.org/A161680,这两个文献到底有何不同?
参考图片:

northwolves

数论爱好者 发表于 2022-10-29 10:51
还是跟素数过不去,下面这个问题,帮忙研究一下.
自然数按下列排序,
第一层1

第n行是从$\frac{1}{2}n(n-1)+1$到$\frac{1}{2}n(n+1)$，根据prime gap 增长速度，显然难以找到反例

数论爱好者

显然，每层最后一个数的通项式是：n（n+1）/2

数论爱好者

每层最左边一个数的通项公式是：n(n+1)/2-n+1或者n(n+1)/2-(n-1)

northwolves

$pi(n) \approx \frac{n}{ln n}$
第n行的素数个数期望值$(n(n+1)/2)/ln(n(n+1)/2)-(n(n-1)/2)/ln(n(n-1)/2)\approx \frac{n}{ln(\frac{n^2}{2})$

数论爱好者

可能已经满足最大素数间隔猜想了,第n行的首尾间隔值比(ln(x))^2还要大一些.因为已经验证了许多素数的最大间隔小于(ln(x))^2,而数列的末项减首项值大于(ln(x))^2.