请教矩阵问题

数学星空 · 发表于 2009-10-28 10:30:54

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本帖最后由数学星空于 2009-10-28 10:35 编辑

如何将一个对称的多项式表示成一个矩阵形式呢,当然,能表示成对称矩阵更好,这样更有利于研究...
例如: (m,n均为正整数)
将$x_1^n+x_2^n+x_3^n+.....+x_m^n-m*x_1*x_2*....*x_n$ 表示成一个矩阵呢?
当m=n 时,如何表示成对称矩阵呢?

mathe · 发表于 2009-10-28 10:42:37

呵呵，通常二次多项式才用对称矩阵表示。
我觉得高次的需要“高阶”矩阵才可以。

数学星空 · 发表于 2009-10-28 11:14:09

我也想过是否一定要高阶矩阵才能表示,但是有很多高次多项式也能用矩阵表示
例如:$a^3+b^3+c^3-3*a*b*c=|(a,c,b),(b,a,c),(c,b,a)|$
的确,这个问题是很困难的,很多有趣的数学结论(对称多项式),若用行列式表示,结构则显的很美妙,也更容易推广,运算也更简洁...

wayne · 发表于 2009-10-28 11:30:30

本帖最后由 wayne 于 2009-10-28 11:31 编辑

hehe,发觉这问题蛮有趣的。

感觉
关于$x_1,x_2,...x_n$的n阶齐次多项式可以与元素为$0,x_1,x_2,...x_n$n阶方阵的行列式值一一对应

wayne · 发表于 2009-10-28 11:43:48

元素为$0,x_1,x_2,...x_n$的n阶方阵的行列式最多有n!项。
而关于$x_1,x_2,...x_n$的n次齐次多项式最多可有多少项，一时还求不出来，貌似涉及到了自然数的分划

wayne · 发表于 2009-10-28 11:48:50

哦，发现那个n!也不对，还真不好求。

天下无苕 · 发表于 2009-10-28 23:47:43

如果能先将初等对称多项式化为矩阵形式，然后在把对称多项式用初等对称多项式表示出来，应该就可以了吧。

天下无苕 · 发表于 2009-10-28 23:55:29

不过这样貌似也很复杂，而且好像需要引进高维的矩阵

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