一道不等式题目

northwolves

求证：$ \frac{x^3y+x+y^3}{(x+y+1)^n}\leq \frac{(n-1)^{n-1}}{n^n} ，x\geq y \geq 0, n>1，n \in Z^{+}$

曹半

显然是错题

northwolves

WolfRamAlpha的在线结果：

$max{(x^3 y + x + y^3)/(x + y + 1)^2 |x>=y>=0} = 0.25 at (x, y)≈(1., 0)$

$max{(x^3 y + x + y^3)/(x + y + 1)^3 |x>= y>=0}≈0.148148 at (x, y)≈(0.500001, 3.40583×10^-7)$

$max{(x^3 y + x + y^3)/(x + y + 1)^4 |x>=y>=0} = 27/256 at (x, y) = (1/3, 0)$

$max{(x^3 y + x + y^3)/(x + y + 1)^5 |x>=y>=0} = 256/3125 at (x, y) = (1/4, 0)$

$max{(x^3 y + x + y^3)/(x + y + 1)^6 |x>=y>=0} = 3125/46656 at (x, y) = (1/5, 0)$

mathe

应该需要$n\ge 4$, $n<=3$时x,y充分大就不对。

mathe

对于$n\ge 4$记$f(x,y)=(x+y+1)^n - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}(x^3y+x+y^3)$
于是$\frac1n\frac{df}{dx}=(x+y+1)^{n-1}-(\frac n{n-1})^{n-1}(3x^2y+1)$
$\frac1n\frac{df}{dy}=(x+y+1)^{n-1}-(\frac n{n-1})^{n-1}(x^3+3y^2)$

对于$n\ge 5$极值点处必须满足方程$(x+y+1)^4\le \(x+y+1)^{n-1}=(\frac n{n-1})^{n-1}(x^3+3y^2)\le e (x^3+3y^2)$
做函数$(x+y+1)^4-e(x^3+3y^2)=0$可以知道不会经过第一象限，所以我们知道对于$x\ge 0,y\ge 0$总是有$(x+y+1)^4 \gt e(x^3+3y^2)$

也就是$f(x,y)$在第一象限没有极值点。
而很显然在第一象限中$x\to\infty$或$y\to\infty$时均有函数值大于0，所以我们只要判断在边界$x=0$或$y=0$处均有$f(x,y)\ge 0$就可以证明$f(x,y)\ge 0$
而$f(0,y)=(y+1)^n- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}y^3, f(x,0)=(x+1)^n-\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}x$

对于$f(x,0)$,显然在$x=\frac1{n-1}$时取得最小值0.
而计算函数$\frac{f(0,y)}{y^3}$的导数为$\frac{(y+1)^{n-1}(ny-3y-3)}{y^4}$
所以在$y=\frac3{n-3}$时$\frac{f(0,y)}{y^3}$取到最小值$\frac{(\frac n{n-3})^n}{(\frac3{n-3})^3}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}=\frac{n^n}{(n-3)^{n-3} 3^3} - \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}$
显然在$n\ge 6$时上式大于0，而验算也可以知道$n=5$时上式也大于0. 由此得出对于一切$y\gt 0$,有$\frac{f(0,y)}{y^3}\ge 0$
由此得出对于$n\ge 5$时$f(x,y)\ge 0$,也就是题目中不等式成立
对于$n=4$需要单独特殊分析，我就不计算了。