几何难题 求DE+DF的取值范围

leimou

王守恩

    我来试试？     △ABC,     A+B+C=180°

\(\frac{2}{\sin A}=\frac{2*CD}{\sin B}=\frac{1}{\sin C}\)   余弦定理可得 DE,DF,

当 B=135° 时，DE+DF 最大值=\(\frac{2+9\sqrt{2}+4\sqrt{3}-3\sqrt{6}}{4}\)

leimou

感谢王先生的解答 能否给个详细点的过程

hujunhua

如图，作与`\text{Rt}△ADC`相似的两直角三角形`\text{Rt} △AGB`和`\text{Rt} △BHC`，
则`GE`和`HF`是所作直角三角形之直角的平分线，四边形BGDH为平行四边形。
所以`∠DGE=∠DHF`
在`△DGE`和`△DHF`中，各有两边为定长，即
`DG=HG=\sqrt3,GE=AE/\sqrt2=\frac{3-\sqrt3}{2\sqrt2},DH=GB=1/2,HF=2GE=\frac{3-\sqrt3}{\sqrt2} `
故而两组三角不等式
      `DG-GE≤DE≤DG+GE\\FH-HD≤DF≤FH+HD`
的上下界是简明清晰的，并且同步到达。
所以`DE+DF`的最小（大）值就是两者最小 (大）值之和，即
        `\frac{3\sqrt2+4\sqrt3-\sqrt6-2}4≤DE+DF≤\frac{2+9\sqrt2+4\sqrt3-3\sqrt6}4`

hujunhua

如果考虑配图直观上蕴含了暗示条件ABCD为一个凸四边形，则最小值在边界上。

不考虑直观暗示，则最小值在ABCD为一个扭四边形的位置。

leimou

感谢管理员 您太厉害了 佩服 我想问一下 您是如何发现这样做是可以的？

wayne

代码验证通过。答案确实是4#所答。修改定比$\lambda =\sqrt{3}$为其他任意正值，取极值的条件不受影响。

1. \[Beta]=0;a={Cos[\[Alpha]],Sin[\[Alpha]]};c=2{Cos[\[Beta]],Sin[\[Beta]]};e=a/(1+\[Lambda]);f=(\[Lambda] c)/(1+\[Lambda]);d={x,y};
   
2. sol=Solve[{Factor[Dot[(d-a),(d-c)]]==0,Total[(d-a)^2]==\[Lambda]^2 Total[(d-c)^2]},{x,y}]//FullSimplify;
   
3. Block[{\[Lambda]=Sqrt[3]},FullSimplify[Maximize[{FullSimplify[Sqrt[Total[(d-e)^2]]+Sqrt[Total[(d-f)^2]]/.sol[[2]]],0<=\[Alpha]<=2Pi},\[Alpha]]]]

复制代码

hujunhua

是的。改变比值只是影响直角三角形的形状，不影响角平分线。
角ADC=90度也可以改成其他方便计算的度数。改成120度，定比取为2，答案更好看些。

王守恩

wayne 发表于 2022-12-18 23:06
代码验证通过。答案确实是4#所答。 而且我们发现，修改 等比$\lambda =\sqrt{3}$为其他任意正值，取极值的 ...

谢谢hujunhua！谢谢wayne!  总算把题目搞清楚了。可我就是不知道如何把电脑上的复制过来。

NMinimize[{\(\sqrt{(\sqrt{3} x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^2 - 2 \sqrt{3} x (\frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}) \cos(a - \pi/6})+\sqrt{x^2 + (\frac{2}{1 + \sqrt{3}})^2 - 2 x (\frac{2}{1 + \sqrt{3}})\cos(b-\pi/3)},
\frac{2 x}{\sin(a + b)} =\frac{2}{\sin(a)}=\frac{ 1}{\sin(b)}\)}, {a, b, x}]

{1.68034, {a -> 1.85584, b -> 0.500454, x -> 0.736763}}

答案有理化：1.68034=\(\frac{3\sqrt{2}+4\sqrt{3}-1\sqrt{6}-2}{4}\),   a+b=135°,  0.736763=\(\frac{\sqrt{5-2\sqrt{2}}}{2}\)

NMaximize[{\(\sqrt{(\sqrt{3} x)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}})^2 - 2 \sqrt{3} x (\frac{\sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}) \cos(a + \pi/6})+\sqrt{x^2 + (\frac{2}{1 + \sqrt{3}})^2 - 2 x (\frac{2}{1 + \sqrt{3}})\cos(b + \pi/3)},
\frac{2 x}{\sin(a + b)} =\frac{2}{\sin(a)}=\frac{ 1}{\sin(b)}\)}, {a, b, x}]

{3.57691, {a -> 0.529903, b -> 0.255495, x -> 1.39897}}

答案有理化：3.57691=\(\frac{9\sqrt{2}+4\sqrt{3}-3\sqrt{6}+2}{4}\),   a+b=45°,  1.39897=\(\frac{\sqrt{5+2\sqrt{2}}}{2}\)