怎么知道一个多项式是不是幂级数的部分和

manthanein

假设函数\(y=f(x)\)在定义区间内可以展开成一个幂级数，取这个幂级数的前\(n\)项，构成\(k\)次多项式\(P_k(x)\)。
比如说\(y=e^x\)，取前4项\(\D P_3(x)=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}\)。
问题：在不求导的情况下，给定一个可以如此展开的函数和一个\(k\)次多项式\(P_k(x)\)，如何判断\(P_k(x)\)是否为幂级数展开的部分和呢？

manthanein

一个观察是
\(\D \lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x-\D \frac{x^2}{2}}{\D \frac{x^3}{6}}=1\)

也许有用

northwolves

可以就用这前n个系数到OEIS.ORG查询一下有没有记录，比如：https://oeis.org/search?q=1，1，2，6

manthanein

northwolves 发表于 2022-12-20 16:50
可以就用这前n个系数到OEIS.ORG查询一下有没有记录，比如：https://oeis.org/search?q=1，1，2，6

只给系数大概是不行的，我说的是在已知最终的和函数的情况下，不用导数最好。

wayne

好像有个叫 Hermite 插值的方法，具备 高阶的连续性。