关于一类对数函数积分的问题

NHY007

已知存在如下类型的积分，是否存在一类f(x)使右侧h(a)是一个多项式函数？
$$
\int_0^a{x \ln \left( 1+\frac{2f\left( x \right)}{p-f\left( x \right)} \right) dx}=h\left( a \right)
$$

northwolves

$f(x)=kp$,

$int_0^a x log(1 + (2 k p)/(p - 2 k p)) dx = -\frac{ln(1-2k)}{2} a^2 $

mathe

\(\int_0^a{x \ln \left( 1+\frac{2f\left( x \right)}{p-f\left( x \right)} \right) dx}=h\left( a \right) \)
两边对于a求导得到
\(a \ln \left( 1+\frac{2f\left( a \right)}{p-f\left( a \right)} \right) =h'\left( a \right) \)
或者说
\(1+\frac{2f\left( a \right)}{p-f\left( a \right)}=\exp(\frac{h'(a)}{a})\)
后面就简单了

NHY007

northwolves 发表于 2022-12-22 20:00
$f(x)=kp$,

$int_0^a x log(1 + (2 k p)/(p - 2 k p)) dx = -\frac{ln(1-2k)}{2} a^2 $

您好，没有看太懂，p在这里使什么？这算是一个特解？
我暂作求解如下：
$$
\int_0^a{\frac{\varepsilon _0x}{\pi}\ln \left( 1+\frac{2f\left( x \right)}{p-f\left( x \right)} \right) dx}=h\left( a \right)
\\
\frac{\varepsilon _0x}{\pi}\ln \left( 1+\frac{2f\left( x \right)}{p-f\left( x \right)} \right) =h^{\prime}\left( a \right)
\\
f\left( x \right) =\frac{p}{1-\frac{2}{1-e^{h^{\prime}\left( a \right) \frac{\pi}{\varepsilon _0x}}}}
$$
欢迎赐教

northwolves

NHY007 发表于 2022-12-23 15:29
您好，没有看太懂，p在这里使什么？这算是一个特解？
我暂作求解如下：
$$

你的题目里p不是已知常数么？y=kp应该算是一个特解