超越方程的解析式

NHY007

请问如何表示这样的一个超越方程的零点？一般无法写出其零点的显示表达式，但仍然想讨教，有没有精度比较高的近似解析表达式？
$$
x^2-\ln \left( 1+x \right) =0
$$

northwolves

$x=0$
$x=\frac{1}{\pi}+\frac{3]{7}$

wayne

如何理解 近似解析表达式，因为这句话不是数学术语，意义模糊。 我们倒是可以说代数数逼近，Mathematica里有这个函数，RootApproximant
另外，现在的计算机性能很强，很容易给出任意精度的数值解

NHY007

wayne 发表于 2022-12-25 08:36
如何理解 近似解析表达式，因为这句话不是数学术语，意义模糊。 我们倒是可以说代数数逼近，Mathematica里 ...

代数数逼近，好的，受教受教！

NHY007

northwolves 发表于 2022-12-25 00:01
$x=0$
$x=\frac{1}{\pi}+\frac{3]{7}$

请问第二个解是怎么得到的？还请您赐教。

笨笨

northwolves 发表于 2022-12-25 00:01
$x=0$
$x=\frac{1}{\pi}+\frac{3]{7}$

我也好奇第二个解是咋来的，感觉你是用软件得来的

uk702

(《不可思议的自然对数》P256 ) 拉马努金常数：
\[ e^{\pi \sqrt{163}} =262 537 412 640 768 744\]

在那个没有计算机的年代，和在今天有计算机的年代，都依然是个奇迹。

笨笨

northwolves 发表于 2022-12-25 00:01
$x=0$
$x=\frac{1}{\pi}+\frac{3]{7}$

请问先生第二个解是咋得到的，可否分析一下

王守恩

笨笨 发表于 2023-1-3 13:31
请问先生第二个解是咋得到的，可否分析一下

没有有比这更逼近的了(谢谢 uk702)：

\(\D\frac{3}{4},\frac{47}{63},\frac{59}{79},\frac{180}{241},\frac{1018}{1363},\frac{2455}{3287},\frac{7964}{10663},\frac{28383}{38002},\frac{80658}{107993},\frac{205627}{275314},\frac{778197}{1041928}, ......\)

笨笨

在软件里编程得到数值解，然后在网页版进行操作

可知：\(x \approx \frac{1}{\pi } + \frac{3}{7}\)只是其中的一个误差很小的近似解，而像这样的近似解有很多。




在网页版 Mathematica里任输入一定精度的小数可用常用的数凑出来，从而像这样的数有很多个。这是本地版软件不具备的功能。