把1个正方形分成4个面积都是整数的三角形

王守恩

谢谢 northwolves ！21楼题目表述有问题。致遗漏了一些解。

直角等腰(腰长是整数)三角形，在3条边(腰在整数位置)上取3个点，

可以把直角等腰三角形分成4个小三角形，要求4个三角形面积都是整数。

当腰长=2n时，有a(n)种分法(不允许翻转)。n=2,3,4,5,6,7,8,9,....

Table[Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (2 n - x) (2 n - z)/2, s3 == (x (2 n - y) - z (x - y))/2, s4 == z (2 n - y)/2}, {s1, s2, s3, s4}, Integers],{z,1,2n-1},{y,1,2n-1},{x,1,2n-1}],{n,2,2}]
{{s1 -> 2, s2 -> 3, s3 -> 2, s4 -> 1}},
{{s1 -> 1, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 3}},
{{s1 -> 1, s2 -> 3, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 2, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 1, s3 -> 2, s4 -> 2}},
{{s1 -> 3, s2 -> 2, s3 -> 2, s4 -> 1}},
{{s1 -> 2, s2 -> 1, s3 -> 2, s4 -> 3}},

Table[Length@Flatten@Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (2 n - x) (2 n - z)/2, s3==(x(2n-y)-z(x-y))/2,s4==z(2n-y)/2},{s1,s2,s3,s4},Integers],{z,1,2n-1},{y,1,2n-1},{x,1,2n-1}]/4,{n,2,8}]
{7, 44, 135, 304, 575, 972, 1519}

Table[4 n^3 + 3 n^2, {n, 15}]
{7, 44, 135, 304, 575, 972, 1519, 2240, 3159, 4300, 5687, 7344, 9295, 11564, 14175}

northwolves

王守恩 发表于 2023-3-16 11:19
谢谢 northwolves ！21楼题目表述有问题。致遗漏了一些解。

直角等腰(腰长是整数)三角形，在3条边(腰在 ...

[1,2n-1]中选x,y,z三个数字，最多一个单数

northwolves

三个双数：n^3
两个双数一个单数，C(3,2)*n^2*(n+1)

王守恩

northwolves 发表于 2023-1-14 23:24
$r/z不一定是整数，26，27楼的数据有漏解的可能。$

谢谢 northwolves ！好像是这串数？这串数还有漏解的可能？

{0, 0, 0, 1, 0, 27, 0, 77, 100, 220, 0, 897, 0, 747, 1201, 1801, 0, 4120, 0}

Table[Table[ Length@Flatten@Table[Solve[{s1 == x*y/2, s2 == (n - x) (n - z) k/(2 n), s3 == z (k - y)/2, s4 == n*k/2 - s1 - s2 - s3},
{s1, s2, s3, s4}, PositiveIntegers], {z, 1, n - 1}, {y, 1, k - 1}, {x, 1, n - 1}]/4, {k, 1, n - 1}] // Total, {n, 1, 19}]

northwolves

王守恩 发表于 2023-3-17 17:22
谢谢 northwolves ！好像是这串数？这串数还有漏解的可能？

{0, 0, 0, 1, 0, 27, 0, 77, 100, 220, 0, ...

取n=6或7，穷举一下看看有没有遗漏