\(\ y=x^2\ \ {,}x\in Z\) 这样的函数在定义域内是否连续？

jiewenji

\(\ y=x^2\ \ {,}x\in Z\)  这样的函数在定义域内是否连续？可否提供一下证明思路？

mathe

你得先定义好Z上怎么样的函数才算连续函数。实数集上的连续函数已经有公认的严格的定义，但是其它集合上没有，得我们事先定义好，比如其上拓扑是什么？
https://zhuanlan.zhihu.com/p/544295675
比如如果我们定义Z的所有子集构成的集合作为拓扑，那么Z上的任意函数都是连续函数。

jiewenji

mathe 发表于 2022-12-27 18:37
你得先定义好Z上怎么样的函数才算连续函数。实数集上的连续函数已经有公认的严格的定义，但是其它集合上没 ...

谢谢你的讲解。
有一点出乎我的意料。实数上关于连续的定义无法适用于其他数集。
其实这个问题，我是在看了黎曼函数的有理点、无理点的连续问题证明后想到的一个问题。在黎曼函数细化到有理点，无理点这样的子集时，照样可以用希腊字母的极限定义去证明。

为什么到了整数集上就无法照搬？而需要另辟蹊径，先定义好Z上的连续函数。这个思路让我觉得额有点本末倒置（在我脑海中应该先定义连续的定义，然后再用这个定义去恒量每个函数是否连续。而不是反过来。）

请问这类问题属于哪一门大学数学课的内容。要是太深了。我就先放一放！

mathe

实数集和整数集两者几何模型上本身就完全不同，从我们直观上理解，实数集对应直线，本身就具有连续性，而整数集本身是一个离散的集合，自然是很难直接把连续函数的概念直接搬移。
我不知道你现在多大，学的什么专业。
这部分内容只有数学专业才可能接触到，应该是点集拓扑学。