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[求助] \(\ y=x^2\ \ {,}x\in Z\) 这样的函数在定义域内是否连续?

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发表于 2022-12-27 16:52:20 | 显示全部楼层 |阅读模式

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\(\ y=x^2\ \ {,}x\in Z\)  这样的函数在定义域内是否连续?可否提供一下证明思路?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-12-28 08:40:55 | 显示全部楼层
实数集和整数集两者几何模型上本身就完全不同,从我们直观上理解,实数集对应直线,本身就具有连续性,而整数集本身是一个离散的集合,自然是很难直接把连续函数的概念直接搬移。
我不知道你现在多大,学的什么专业。
这部分内容只有数学专业才可能接触到,应该是点集拓扑学。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-12-27 18:37:17 | 显示全部楼层
你得先定义好Z上怎么样的函数才算连续函数。实数集上的连续函数已经有公认的严格的定义,但是其它集合上没有,得我们事先定义好,比如其上拓扑是什么?
https://zhuanlan.zhihu.com/p/544295675
比如如果我们定义Z的所有子集构成的集合作为拓扑,那么Z上的任意函数都是连续函数。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2022-12-27 23:52:20 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2022-12-27 18:37
你得先定义好Z上怎么样的函数才算连续函数。实数集上的连续函数已经有公认的严格的定义,但是其它集合上没 ...

谢谢你的讲解。
有一点出乎我的意料。实数上关于连续的定义无法适用于其他数集。
其实这个问题,我是在看了黎曼函数的有理点、无理点的连续问题证明后想到的一个问题。在黎曼函数细化到有理点,无理点这样的子集时,照样可以用希腊字母的极限定义去证明。

为什么到了整数集上就无法照搬?而需要另辟蹊径,先定义好Z上的连续函数。这个思路让我觉得额有点本末倒置(在我脑海中应该先定义连续的定义,然后再用这个定义去恒量每个函数是否连续。而不是反过来。)

请问这类问题属于哪一门大学数学课的内容。要是太深了。我就先放一放!
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