对数函数的转换

NHY007

如图所示为方程$y=\ln \left( 1+x \right) $和方程$y=3.338(1-\frac{1}{0.2394x+1})$曲线;
请问是否存在对数函数和对应近似的幂函数或双曲函数的转换方法？

首先想到的使用展示式$ln\left( 1+z \right) =z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots +\left( -1 \right) ^{n-1}\frac{z^n}{n}+\cdots $，但该展开要求$| z |<1$，
即只在这一小段范围才适用；
还请指教！

mathe

由于\(\ln(\frac{1+t}{1-t})=2(t+\frac{t^3}3+\frac{t^5}5+\frac{t^7}7+\cdots)\)
做替换\(1+x=\frac{1+t}{1-t}\),即\(t=\frac x{2+x}\)
所以\(\ln(1+x)=\sum_{h=1}^{+\infty}\frac2{2h-1}(\frac x{2+x})^{2h-1}\)

如图，黑色曲线为\(\ln(1+x)\),其余从下向上一次为一项，两项，三项，...之和

uk702

有门学问叫做函数逼近论，应该就是研究这些问题的。以前对如何用分式逼近特别感兴趣（象连分式展开），比如说将 ln(1+x) 表示成 \( \frac{ax^2+bx+c){dx + e} \) 之类。现在有了工程手段，这类问题其实没任何难度（难度在于如何设计一个好的近似模型，以及如何定义“误差最小”），就是计算量的问题，比如说在 0 < x < 10 之间打 1000 个点，然后随机选择 100000 个 (a, b, c, d, e) 的组合，计算这 100000 个  (a, b, c, d, e)，那一个对 1000 个点的累计误差最小，如果有“科学”的方法（如测算线性回归相关系数）去设计如何选择这 100000 个  (a, b, c, d, e)，能极大地加快计算进度。

NHY007

uk702 发表于 2022-12-31 11:10
有门学问叫做函数逼近论，应该就是研究这些问题的。以前对如何用分式逼近特别感兴趣（象连分式展开），比如 ...

您的回答让我受益良多；请问函数逼近论由什么推荐的教材或参考资料嘛？

NHY007

mathe 发表于 2022-12-31 09:13
由于\(\ln(\frac{1+t}{1-t})=2(t+\frac{t^3}3+\frac{t^5}5+\frac{t^7}7+\cdots)\)
做替换\(1+x=\frac{1+t} ...

十分感谢您的回答，很好的解决了我的问题。

uk702

NHY007 发表于 2022-12-31 14:11
您的回答让我受益良多；请问函数逼近论由什么推荐的教材或参考资料嘛？

比如，数值计算原理-李庆扬等，清华大学出版社。一般来说这种方法都是在 0 点附近最优，也可以用同样的方找出在数值 2、4、8 最优的公式，然后用某种加权方式产生一个大致在整个计算区间都还算均衡的公式。

至于工程上的方法，就没有那么多套路了，也不局限于在某个局部最优。

NHY007

uk702 发表于 2022-12-31 14:46
比如，数值计算原理-李庆扬等，清华大学出版社。一般来说这种方法都是在 0 点附近最优，也可以用同样的 ...

受教了，很感谢您！

笨笨

请问楼主，对于主贴来源哪个题目，

NHY007

笨笨 发表于 2023-1-1 18:07
请问楼主，对于主贴来源哪个题目，

是自己做计算的时候想要寻求的一个近似

笨笨

NHY007 发表于 2023-1-2 14:08
是自己做计算的时候想要寻求的一个近似

帕德逼近吧，可以找到最接近目标函数的有理分式

https://www.zhihu.com/question/373294764/answer/2808909855