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[求助] 对数函数的转换

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发表于 2022-12-31 02:48:43 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 NHY007 于 2022-12-31 02:58 编辑

如图所示为方程$y=\ln \left( 1+x \right) $和方程$y=3.338(1-\frac{1}{0.2394x+1})$曲线;
请问是否存在对数函数和对应近似的幂函数或双曲函数的转换方法?
Snipaste_2022-10-12_12-14-21.png
首先想到的使用展示式$ln\left( 1+z \right) =z-\frac{z^2}{2}+\frac{z^3}{3}-\cdots +\left( -1 \right) ^{n-1}\frac{z^n}{n}+\cdots $,但该展开要求$| z |<1$,
即只在这一小段范围才适用;
还请指教!





毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2022-12-31 09:13:57 | 显示全部楼层
由于\(\ln(\frac{1+t}{1-t})=2(t+\frac{t^3}3+\frac{t^5}5+\frac{t^7}7+\cdots)\)
做替换\(1+x=\frac{1+t}{1-t}\),即\(t=\frac x{2+x}\)
所以\(\ln(1+x)=\sum_{h=1}^{+\infty}\frac2{2h-1}(\frac x{2+x})^{2h-1}\)
ln.png
如图,黑色曲线为\(\ln(1+x)\),其余从下向上一次为一项,两项,三项,...之和

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发表于 2022-12-31 11:10:11 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-12-31 11:23 编辑

有门学问叫做函数逼近论,应该就是研究这些问题的。以前对如何用分式逼近特别感兴趣(象连分式展开),比如说将 ln(1+x) 表示成 \( \frac{ax^2+bx+c){dx + e} \) 之类。现在有了工程手段,这类问题其实没任何难度(难度在于如何设计一个好的近似模型,以及如何定义“误差最小”),就是计算量的问题,比如说在 0 < x < 10 之间打 1000 个点,然后随机选择 100000 个 (a, b, c, d, e) 的组合,计算这 100000 个  (a, b, c, d, e),那一个对 1000 个点的累计误差最小,如果有“科学”的方法(如测算线性回归相关系数)去设计如何选择这 100000 个  (a, b, c, d, e),能极大地加快计算进度。
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 楼主| 发表于 2022-12-31 14:11:21 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2022-12-31 11:10
有门学问叫做函数逼近论,应该就是研究这些问题的。以前对如何用分式逼近特别感兴趣(象连分式展开),比如 ...

您的回答让我受益良多;请问函数逼近论由什么推荐的教材或参考资料嘛?

点评

不同人的要求相差很大,不好推荐,你可留意一下计算数学或者数值计算相关的书。  发表于 2022-12-31 14:38
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 楼主| 发表于 2022-12-31 14:12:01 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2022-12-31 09:13
由于\(\ln(\frac{1+t}{1-t})=2(t+\frac{t^3}3+\frac{t^5}5+\frac{t^7}7+\cdots)\)
做替换\(1+x=\frac{1+t} ...

十分感谢您的回答,很好的解决了我的问题。
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发表于 2022-12-31 14:46:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2022-12-31 14:57 编辑
NHY007 发表于 2022-12-31 14:11
您的回答让我受益良多;请问函数逼近论由什么推荐的教材或参考资料嘛?


比如,数值计算原理-李庆扬等,清华大学出版社。一般来说这种方法都是在 0 点附近最优,也可以用同样的方找出在数值 2、4、8 最优的公式,然后用某种加权方式产生一个大致在整个计算区间都还算均衡的公式。

至于工程上的方法,就没有那么多套路了,也不局限于在某个局部最优。
2022-12-31_144413.png
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 楼主| 发表于 2022-12-31 17:03:21 | 显示全部楼层
uk702 发表于 2022-12-31 14:46
比如,数值计算原理-李庆扬等,清华大学出版社。一般来说这种方法都是在 0 点附近最优,也可以用同样的 ...

受教了,很感谢您!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2023-1-1 18:07:38 | 显示全部楼层
请问楼主,对于主贴来源哪个题目,
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 楼主| 发表于 2023-1-2 14:08:51 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2023-1-1 18:07
请问楼主,对于主贴来源哪个题目,

是自己做计算的时候想要寻求的一个近似
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发表于 2023-1-2 16:43:05 | 显示全部楼层
NHY007 发表于 2023-1-2 14:08
是自己做计算的时候想要寻求的一个近似

帕德逼近吧,可以找到最接近目标函数的有理分式

https://www.zhihu.com/question/373294764/answer/2808909855
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