固定坐标轴交点的特定形式函数

NHY007

求满足如下条件的函数$g\left( R \right) $:
$$
l\left( R \right) =-R\frac{g^{\prime}\left( R \right)}{g^2\left( R \right)}
\\
\begin{cases}
        l\left( 0 \right) =a\\
        l\left( a \right) =0\\
\end{cases}
$$
直观来看，$R=0$时必有$l\left(a\right)$=0；但若满足$l\left( 0 \right) =a$似乎可以通过适当的函数$g\left( R \right) $消去$l\left( R \right) $内的乘数$R$；但是我却找不出可以同时满足第二个限定条件的函数$g\left( R \right) $的假设形式。
还请指教！

ShuXueZhenMiHu

\( g(R)=\frac{1}{a log(R) -R} \) 是一个解。看上去是一个可分离变量的常微分方程求解。

NHY007

ShuXueZhenMiHu 发表于 2023-1-5 02:40
\( g(R)=\frac{1}{a log(R) -R} \) 是一个解。看上去是一个可分离变量的常微分方程求解。

很受启发，但是想知道您是怎样求解的，您是怎么样的思路？
受阁下启发，可做如下简化或变形：
$$
g\left( R \right) =\frac{1}{h\left( R \right)}\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
        g^2\left( R \right) =\frac{1}{h^2\left( R \right)}\\
        g\prime\left( R \right) =-\frac{h\prime\left( R \right)}{h^2\left( R \right)}\\
\end{array} \right.
\\
l\left( R \right) =-R\frac{g^{\prime}\left( R \right)}{g^2\left( R \right)}=Rh\prime\left( R \right) ,\begin{cases}
        h\prime\left( 0 \right) =\frac{a}{R}\\
        h\prime\left( a \right) =0\\
\end{cases}
$$
不知有无谬误，但不知道如何继续求解。还请赐教！

ShuXueZhenMiHu

NHY007

ShuXueZhenMiHu 发表于 2023-1-6 02:43

原来如此，多谢多谢！