如何证明内点必是聚点？

jiewenji

实变函数与泛函分析基础 第4版 (程其襄 )P25
如何证明内点必是聚点？可以不用”邻域内必有有无限多点”这个结论来证明“内点必是聚点”？


或者这个结论根本就是错的？比如举个反例 E=[5,9]\(\cap Z\)  ,那么6肯定是E的一个内点。但是肯定不是E的聚点。因为E是有限集，有限集不可能有聚点！

ShuXueZhenMiHu

E={5，6，7，8，9}

6不是E的一个内点，因为没法找到一个6的邻域，\( （6-\delta, 6+\delta ) \)，使得该邻域包含在E中。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2023-1-8 10:34
E={5，6，7，8，9}

6不是E的一个内点，因为没法找到一个6的邻域，\( （6-\delta, 6+\delta ) \)，使得该 ...

谢谢回复。
如果 E=[1,10] n Z  ,那么6肯定是E的一个内点。将 (4,8)  n Z  看成6的邻域不可以么？如果不可以，原因是什么？

ShuXueZhenMiHu

如果你在 \( (\RR, d) ，d(x,y)=|x-y| \) 上讨论这个问题，那么我认为 \( (4, 8) \) 是 6 的邻域，因为\( (4, 8)= \{ x \in \RR : 6-2 < x <6+2 \}=\{ x \in \RR : |x-6|<2 \} \)。由于 \( 6.5 \in (4, 8) \) 但是  \( 6.5 \notin E \)，所以该邻域不包含在E中。
根据邻域的定义  \( (4, 8)  \cap \ZZ =\{5,6,7\} \) 不是 6 的邻域。并且因为我们在 \( \RR \)上讨论问题，所以6的邻域必然会包含有理数和无理数。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2023-1-9 03:11
如果你在 \( (\RR, d) ，d(x,y)=|x-y| \) 上讨论这个问题，那么我认为 \( (4, 8) \) 是 6 的邻域，因为\( ( ...

你说6和5 不属于E ，是因为我没有将E定以为集合么？ 如果我 E={x| x属于[1,10] n Z}呢？ 另外，距离空间定义为（Z，d）d(x,y)=|x-y|    。这时候说内点不是聚点是否正确呢？

ShuXueZhenMiHu

我说的是六点五不属于E。 \( E= [5,9] \cap \ZZ =\{5,6,7,8,9\} \)。在 \((\RR,d) \) 空间内，6的任意邻域都包含有理数和无理数，但是E中只有整数。所以6的任意邻域都不包含在E中， 所以6不是E的内点。

jiewenji

ShuXueZhenMiHu 发表于 2023-1-10 11:05
我说的是六点五不属于E。 \( E= [5,9] \cap \ZZ =\{5,6,7,8,9\} \)。在 \((\RR,d) \) 空间内，6的任意邻域 ...

“所以6的任意邻域都不包含在E中， 所以6不是E的内点”-------------------------6要成为E的内点，只需要6的“某一”邻域是E的子集。而不需要6的“任意”邻域成为E的子集。这是我为什么涉及E集合要交Z的原因。

6要成为E的聚点。要求6的“任意”去心邻域中都“含有”E中的元素。

ShuXueZhenMiHu

如果 \( E=[1,10] \cap \ZZ  \)，即 \( E=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\} \)，在 \((\RR , d)\)空间上，集合\( (4,8) \cap \ZZ \) 不是6的邻域。
邻域是有定义的，你能把邻域定义写出来么？