到底什么是n维欧氏空间的定义？

jiewenji

在不同书上看到欧氏空间不同版本的定义。发现其中的差别主要在于是否在定义中加入明确的内积和范数定义。

问题1：欧氏空间到底要不要明确范数。如果不明确加上“内积和范数运算”的内容，究竟算不算欧氏空间的定义？为什么？
问题2: 欧氏空间当中的点(就是定义中提到的实数向量)是否具有稠密性？欧氏空间中的任意区域（一个有限平面，一个有限半径的球……）中点的集合是不是无限集？如果都是肯定的答案，这些结论或性质有没有什么名字。比如xxx定理。或者xxx性质？



《普林斯顿数学分析读本》P50
定义1:为了证明复数集构成一个域，我们首先将复数定义为由 2 个实数组成的向量，如 (a, b)．然后再证明这些复数其实与你之前见到的 a + bi 形式的虚数完全相同．在证明了复数的一些性质之后，我们就会发现任意大小的实向量都具有类似的性质，由这些向量构成的集合称为欧几里得空间

《普林斯顿数学分析读本》P60     注意：这里光有n维向量不够，还必须要加上“内积和范数运算”才叫欧几里得空间！！！


《数学分析》原书第二版Tom M. Apostol  p37  定义中没有要求必须要加上“内积和范数运算”，但是在后面定义3.2介绍了内积和范数。但是没有将内积和范数与欧氏空间的定义作连结。




实变函数与泛函分析基础 第4版 (程其襄 )P19 同样没有要加上“内积和范数运算”后面也没有提内积和范数。

ShuXueZhenMiHu

有内积和范数的n维线性空间叫做欧几里得空间。两点需要注意，首先是线性空间上有内积的定义，然后是线性空间是有限维的。

换句话说，有限维的内积空间称为欧几里得空间。

法国人爱用这个词，美国人根本就不用这个词，就叫n维内积空间或内积空间。东西就是那个东西，叫什么其实不重要。