用mma怎么编程

笨笨

northwolves

1. Limit[n (n*RSolve[{a[1] == 1, a[n + 1] == Log[1 + a[n]]}, a[n], n] - 2)/Log[n], n -> Infinity]

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没解出来

lsr314

假设极限是r，将a(n)用n和r表示出来，由于x=1/n→0，我们可以将a(n+1)-a(n)在x=0处展开为级数：

1. Series[r Log[1+n]/(1+n)^2+2/(1+n)- Log[1+r Log[n]/n^2+2/n]/.n->1/x,{x,0,3}]

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结果是(-2/3+r) x^3+O[x]^4,分析x^3的系数，极限应该是r=2/3.

笨笨

northwolves 发表于 2023-1-13 22:25
没解出来

你好，请问先生这个程序能否改进一下？

uk702

确实是 2/3 ，我用的是类似的方法 。

1. Series[2/(n + 1) + r Log[n + 1] / (n + 1)^2, {n, Infinity, 4}]

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得： \( \frac{2}{n}+\frac{r \log (n)-2}{n^2}+\frac{-2 r \log (n)+r+2}{n^3}+\frac{6 r \log (n)-5 r-4}{2 n^4}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^5\right) \)

1. Series[Log[1 + 2/n + r Log[n] /n^2], {n, Infinity, 4}]

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得： \( \frac{2}{n}+\frac{r \log (n)-2}{n^2} + \frac{-6 r \log (n) + 8}{3 n^3}+\frac{-r^2 \log ^2(n)+8 r \log (n)-8}{2 n^4}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^5\right) \)

因此， \( \frac{1}{n^3} \) 系数应匹配，就必须有 2 + r - 2 r Log[n] = (8 - 6 r Log[n])/3， ∴ 2 + r = 8/3， 得 r = 2/3

笨笨

uk702 发表于 2023-1-14 13:49
确实是 2/3 ，我用的是类似的方法 。

以2楼的编程为基础，请问2楼的程序怎么改进

uk702

3# 的方法就是大招。更进一步，似有
\[
a_n = \frac{2}{n} + \frac{2 Log[n]}{3 n^2} + \frac{2 Log[n]^2 - 2 Log[n]}{9 n^3} + o(n^{-3})
\]

1. Series[(2/9  Log[1 + n]^2 - 2/9  Log[1 + n])/(1 + n)^3 +  2/3 Log[1 + n]/(1 + n)^2 + 2/(1 + n)  -  Log[1 + (2/9  Log[n]^2 - 2/ 9 Log[n])/n^3 + 2/3 Log[n]/n^2 + 2/n], {n, Infinity, 5}]

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结果：
\[
\frac{1}{9 n^4}+\frac{20 \log ^3(n)-80 \log ^2(n)+90 \log (n)-69}{135 n^5}+O\left(\left(\frac{1}{n}\right)^6\right)
\]

northwolves

1. ClearAll["Global`*"]; Limit[
   
2. RSolve[{a[1] == 1, a[n + 1] == a[n] + 1/(n + 1)^4}, a[n], n],
   
3. n -> Infinity]

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$\underset{n\to \infty }{\text{lim}}\{a(n)\to \frac{1}{90} \left(\pi ^4-15 \psi ^{(3)}(n+1)\right)}$

笨笨

northwolves 发表于 2023-1-14 22:35
$%underset{n\to \infty }{\text{lim}}\{a(n)\to \frac{1}{90} \left(\pi ^4-15 \psi ^{(3)}(n+1)\righ ...

请问2楼的程序可以再改进吗，还是没有直接得到答案啊2/3

northwolves

笨笨 发表于 2023-1-14 22:51
请问2楼的程序可以再改进吗，还是没有直接得到答案啊2/3

似乎有的能解出来，有的不能