一道初中几何证明题，求简易证明方法

geobbs

题目见附图，不知道这是不是一个几何定理

wayne

我先给一个 不用动脑子，但有一点技巧性的 解析几何的方法：
设圆的方程是$x^2+y^2=R^2$,点C坐标是${0,R \sin (\theta )}$,点A坐标是${0,R/ \sin (\theta )}$,点P坐标是${R \cos (t),R \sin (t)}$ ,
交叉直线PC,PA的方程是$(R \sin (\theta ) \cos (t)+x \sin (t)-y \cos (t)-x \sin (\theta )) (R \csc (\theta ) \cos (t)+x \sin (t)-y \cos (t)-x \csc (\theta )) = 0$，联立上面的圆方程，很容易消元，得到关于x的方程，发现两根和为0，说明是直线AO 对称。
当然也可以 直接解出来，两个点的坐标是。
\[ \left\{-\frac{2 R \cos ^2(\theta ) \cos (t)}{\cos (2 \theta )+4 \sin (\theta ) \sin (t)-3},-\frac{R (4 \sin (\theta )+(\cos (2 \theta )-3) \sin (t))}{\cos (2 \theta )+4 \sin (\theta ) \sin (t)-3}\right\},\left\{\frac{2 R \cos ^2(\theta ) \cos (t)}{\cos (2 \theta )+4 \sin (\theta ) \sin (t)-3},-\frac{R (4 \sin (\theta )+(\cos (2 \theta )-3) \sin (t))}{\cos (2 \theta )+4 \sin (\theta ) \sin (t)-3}\right\}\]

然后这两点刚好 关于$x=0$，即直线AO 对称。所以，PB平分$\angleAPC$

mathe

延长AP交圆为Q,做P,Q关于AO对称点P',Q'. 于是圆内接四边形PQQ'P'的边PQ角P'Q'于A，所以其对角线PQ'和QP'的交点在A的极线DC上，根据对称性只能是C点。也就是PCQ'三点共线。于是$∠APB=∠BQ'Q=∠B Q Q'=∠BPQ'$，得证

hujunhua

就是一个阿氏圆，但初中生没学。

wayne

盗3楼的图，容易得出 $\frac{AD}{DC} =\frac{AB}{BC} $，根据对称性，还有一个切点$D'$，以及点 $B$关于点$O$的对称点$B'$，验证这三个点均满足同一定比关系$\frac{AB}{BC} $，而三点 确定一个圆。
再结合4楼的提示， 确定 此圆是 阿氏圆 https://zhuanlan.zhihu.com/p/536886055，而 阿氏圆的性质就是 圆上的任何一点 满足定比关系。 此乃 一生二，二生三，三生万物也

hujunhua

不妨设圆为单位圆，记`OA=a,OC=c`, 则由射影定理易得 `ac=1`,于是

${CB}/{BA}={1-c}/{a-1}={ac-c}/{a-1}=c$

设`P(x,y)`, 有 `x^2+y^2=1`, 于是

${PC}/{PA}=sqrt{x^2+(y-c)^2}/sqrt{x^2+(y-a)^2}=sqrt{1-2cy+c^2}/sqrt{1-2ay+a^2}=sqrt{c^2(a^2-2ay+1)}/sqrt{1-2ay+a^2}=c$

可见恒有 ${CB}/{BA}={PC}/{PA}=c$, 故PB是∠APC的平分线。

hujunhua

把图右转90°放平在复平面上，`O=0，B=1,A·C=1, P·\bar P=1`

PB平分∠APC, 等价于 ${A-P}/{1-P}·{1-barP}/{A-barP}={1-P}/{C-P}·{C-barP}/{1-barP}$

由`A·C=1, P·\bar P=1`不难推导上式恒成立。

nyy

hujunhua 发表于 2023-2-11 15:31
把图右转90°放平在复平面上，`O=0，B=1,A·C=1, P·\bar P=1`

PB平分∠APC, 等价于 ${A-P}/{1-P}·{1-b ...

复数太难了，我都看不懂，还是解析几何简单一些

geobbs

找到了一个几何证法，还是挺复杂的，分享一下。

hujunhua

∵ ∠APB=π-∠BPF=劣弧BF所对圆周角=½∠BOF
∴ PB平分∠APC ↔ ∠BOF=∠APC ↔ O, C, P, F 共圆
由切割弦定理知   AP·AF=AD²
由射影定理可知  AC·AO=AD²
于是得 AP·AF=AC·AO，由割线逆定理知 O, C, P, F 共圆