人脸上取68个样点。求14亿人面相长的一样的概率。

xfhaoym

人脸上取68个样点。求14亿人面相长的一样的概率怎样计算？

sheng_jianguo

楼主提的问题没有说清楚，无法计算。如果问题改为以下典型说法，是有公式计算的。
假设每人在脸上取68个不同部位的样点（每人取样的68个部位相同），每个样点的判别只有两种相同概率的结果（可别记为+和-）。如果两人对应的68个样点判别结果（+和-）都完全一样，则称这两人面相长的一样。
问：14亿人中，面相有长的一样的概率p？
解：设N=2^68=295147905179352825856，n=1400000000,
　　p=1-N!/(N^n×(N-n)!)
　　≈0.4%

PS：以上计算中，由于N和n都非常大，故采用近似计算得出的结果。本论坛有多位大数计算高手，不知是否能得出更精确的结果。

mathe

sheng_jianguo 发表于 2023-2-16 17:13
楼主提的问题没有说清楚，无法计算。如果问题改为以下典型说法，是有公式计算的。
假设每人在脸上取68个不 ...

你这里n相对于n很小，于是
\(\frac{N-k}{N} \approx\exp(-\frac kN)\)
得到结果约等于
\(1-\prod_{k=0}^{n-1}\exp(-\frac kN)=1-\exp(\frac{n(n-1)}{2N})=0.3315\%\)

直接采用数值计算原表达式结果为0.003314862821256301444046088108047824486283361904390743453979

sheng_jianguo

mathe 发表于 2023-2-17 08:22
你这里n相对于n很小，于是
\(\frac{N-k}{N} \approx\exp(-\frac kN)\)
得到结果约等于

谢谢mathe又给出了一个近似结果。
我的近似公式和你的不同，但计算结果非常接近（小数点后11位相同），比你的结果大一点点：
`p≈1-(\frac{N+(N-n)}{2N})^n`　按此公式计算肯定偏小
请教mathe: 我想知道的是，按你的近似公式计算误差是多少？也就是说，计算结果中有几位有效数字是可靠的？（比如正确结果应该在0.331%至0.332%之间？）