用 mathematica 如何解这个复数方程

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 10:13
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

三角形ABD≌三角形BCE(2边夹角)  

∠CED+∠BAC=(90-B-C)+(C+2B-C),∠ABE=180-4B-C,

得B=18,∠ADE=36,C=23.6107

mathe!  这个精确度应该没有问题了吧？

N[Solve[{Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180] == Sin[36\[Pi]/180] Sin[(36+C)\[Pi]/180] Sin[(C)\[Pi]/180], 90>C>0}, {C}], 100]

{{C -> 23.61067398440286574175686748261641508184530372365210379366798651614976556820862469724779236145748104}}

接你这个，我需要你的推理过程，不需要你的结果，推理很重要！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 10:13
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

推理过程很重要，你可以看看我的两个回答，
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 2&fromuid=14149

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 6&fromuid=14149

看看这两个回答，都有相对比较详细的思路与代码供别人检验。

王守恩

mathe 发表于 2023-2-16 17:22
这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

三角形ABD≌三角形BCE(2边夹角)  

1,∠CED+∠BAC=(90-B-C)+(C+2B-C),∠ABE=180-4B-C,

  得B=18,∠ADE=36,∠BAC=36,∠ADB=36,

2,三角形ABC面积=AD*BC*Sin∠ADB =Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180]  

  三角形ABC面积=BC*CA*Sin∠ACB=Sin[36\[Pi]/180]Sin[(36+C)\[Pi]/180]Sin[(C)\[Pi]/180]

N[Solve[{Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180] Sin[36\[Pi]/180] == Sin[36\[Pi]/180] Sin[(36+C)\[Pi]/180] Sin[(C)\[Pi]/180], 90>C>0}, {C}], 100]

{{C -> 23.61067398440286574175686748261641508184530372365210379366798651614976556820862469724779236145748104}}

3,计算各个角度的关系可以用“万能公式”(这个题太简单“万能公式”用在这里就是大材小用)

   \(1=\frac{\sin∠FBD\sin∠FDE\sin∠FEA\sin∠FAB}{\sin∠FDB\sin∠FED\sin∠FAE\sin∠FBA}=\frac{\sin(2B)\sin(90-3B)\sin(2B+C)\sin(C)}{\sin(2B)\sin(90-B)\sin(2B-C)\sin(4B+C)}\)

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 16:52
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

三角形ABD≌三角形BCE(2边夹角)

我需要这个过程！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 16:52
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

我明白了，是角BDA=角EBC，然后邻边对应相等，所以两个三角形全等，抓住这个后，剩下的就简单很多！还是方程组爽，方程组不费脑筋没技巧！

nyy

nyy 发表于 2023-3-9 14:16
思路：
(*假设∠CED=x,∠BAC=y,然后用x与y来表达各个角*)
利用三角形的内角和等于180、等边对等角 ...

我自己顿悟了，根据黄色等值线，是一条水平直线，
也就意味着y这个角是常数！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 16:52
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

我知道了，你用的是角元塞瓦定理！

nyy

王守恩 发表于 2023-3-9 16:52
接6楼。这个直接计算各个角度的关系就可以出来了

记∠EBD=2B,∠BAD=∠ACB=C,

根据你的全等思路，得到y=36°

1. Clear["Global`*"];
   
2. deg=Pi/180;(*角度制下1°所对应的弧度*)
   
3. (*假设∠CED=x,∠BAC=y,然后用x与y来表达各个角*)
   
4. (*用正弦定理列方程,解决问题*)
   
5. ans=Solve[{
   
6.     (*AB/AD=AB/BC对应角度使用正弦定理*)
   
7.     Sin[180deg-4*y]/Sin[x+y+180deg-4y]==Sin[2y-x]/Sin[y],
   
8.     y==36deg,(*根据△EBC全等△BDA(SAS,∠EBC=∠BDA),得到y=36°*)
   
9.     (0<x<90deg)&&(0<y<45deg)(*限制变量范围*)
   
10. },{x,y},Method->Reduce]//FullSimplify//ToRadicals
    
11. Tan[x]/.ans[[1]]//FullSimplify (*看看正切值的大小*)
    
12. N[({x,y}/deg)/.ans,30](*转化成角度制并且数值化,看角度多少*)
    

复制代码

求解结果
\[\left\{\left\{x\to 2 \tan ^{-1}\left(\sqrt{\frac{1}{5} \left(8 \sqrt{5}-4 \sqrt{20-5 \sqrt{5}}-5\right)}\right),y\to \frac{\pi }{5}\right\}\right\}\]

数值化
{{48.3893260155971342582431325174, 36.0000000000000000000000000000}}

tan[x]的值
\[\sqrt{\frac{1}{11} \left(4 \sqrt{5}+5\right)}\]

mathe

首先我们知道$\Delta ADB$全等$\Delta CBE$而且相似$\Delta CAB$.
而$/_ABF=/_CED+/_BAC=/_CED+/_BAD+/_DAC=/_CED+/_ACB+/_DAC=/_EDB+/_DAC=/_FED+/_DAC$
由于$\Delta AFB$和$\Delta DEF$的角F相等，由此得到$/_BAF = /_EDF-/_DAC$, 也就是$/_EDF=/_BAC=/_ADB = \alpha$
所以$/_BDE=2\alpha$, $/_BED=/_EDB=2\alpha$,$/_EFD=/_FBD=/_FDB=2\alpha$
由此$\DEF$中三个角分别为$\alpha, 2\alpha,2\alpha$,所以$5\alpha=\pi$,得到 $\alpha=\frac{\pi}{5}$