一道定积分

wayne · 发表于 2009-10-29 17:20:30

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已知 $0\leq a\leq b$, 求 $\int_a^bArcCos\frac{x}{\sqrt{(a+b)x-a b}}\dx$

wayne · 发表于 2009-10-30 14:52:44

用软件算了一下，发现该表达式的不定积分存在。非常复杂。
估计不会有什么比较有技巧的思路了

数学星空 · 发表于 2009-10-30 15:02:11

呵呵,是的,若用复变函数论的知识可能要简单, 有趣的是
$x=a$ 或者$x=b$ 时,$Arc cos(x/sqrt((a+b)*x-a*b))=2*k*pi$($k$为整数)

wayne · 发表于 2009-10-30 15:06:37

3# 数学星空

那用复变函数该怎么解

数学星空 · 发表于 2009-10-31 07:55:32

很奇怪,算出积分表达式后,令x=a 或者 x=b 时,值不存在(表达式分母为0),可能需要令$x->a^+,x->b^-$ 才能算出答案
不知是否有人算出最终答案

数学星空 · 发表于 2009-10-31 13:32:16

用数学软件可以计算出答案为
$ pi/4*(b-a)^2/{a+b}$

wayne · 发表于 2009-10-31 13:32:21

$frac{\pi(a-b)^2}{4(a+b)}$

creasson · 发表于 2012-4-21 15:48:31

tian27546 · 发表于 2012-4-28 20:42:20

wayne · 发表于 2012-4-28 23:00:41

9# tian27546
太有才了，
原函数竟然挺简洁的！！！
而 Mathematica给的原函数特别复杂，还带有虚数！

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