这是三角形的什么心？

hujunhua

发现存在一个简明的转换公式.

如果`O`对`△ABC`的重心坐标是`(α:β:γ)`, `(α+β+γ=1)`,
那么O对其基于△ABC的Ceva三角形△DEF的面积坐标是\[
\left(\frac{β+γ}2:\frac{γ+α}2:\frac{α+β}2\right)=\left(\frac{1-α}2:\frac{1-β}2:\frac{1-γ}2\right)
\]反过来，如果O对Ceva三角形△DEF的重心坐标是`(α:β:γ)`, `(α+β+γ=1)`，
那么O对△ABC的面积坐标是\[
\left((β+γ-α) : (γ+α-β) : (α+β-γ)\right)=\left((1-2α) : (1-2β) : (1-2γ)\right)
\]

hejoseph

hujunhua 发表于 2023-3-10 17:35
发现一个存在简明的转换公式.

如果`O`对`△ABC`的重心坐标是`(α:β:γ)`, `(α+β+γ=1)`,

正好之前做过这个
Ceva三角形和反Ceva三角形，Ceva四面体和反Ceva四面体.pdf (83.76 KB, 下载次数: 11)

2023-3-10 17:45 上传

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aimisiyou

当O为三角形ABC的内心时，∠FDE与∠BAC有啥线性或非线性等式关系吗？

hujunhua

creasson 发表于 2023-3-10 14:52
不是已知的心,  不妨设B=0, C=1, A=z, O=w, 并记$\bar{z}$为z的共轭， 则w是7次方程的解:
\[-z^8-4 w z^7 ...

用4#算出来的O的纵坐标 1.95179791797883518472去三角形中心大全网查了一下，还真没有。

过了15955        1.95150602626699093183
就是27881        1.95184838083461246694
没有                 1.95179791797883518472

hujunhua

hejoseph 发表于 2023-3-10 17:45
正好之前做过这个

可以定义一个三角形的Ceva变换：给定一个三角形△ABC及其内一点P(α:β:γ)(面积坐标），我们进行以下操作

1、作`P`基于`△ABC`的Ceva三角形`△DEF`，
2、以`P`为位似中心，以位似比$sqrt{{S_{△ABC}}/{S_{△DEF}}}$作Ceva三角形`△DEF`的位似形$△A_1B_1C_1$.

我们把`(△ABC, P)→(△A_1B_1C_1, P)`的映射称为以`P`为中心的（等积）Ceva变换。

10#和11#的附件中指出， `P`基于`△A_1B_1C_1`的面积坐标是$\left(\frac{β+γ}2:\frac{γ+α}2:\frac{α+β}2\right)$, 即变换使`P`的坐标呈平均化趋势。
所以 ，不管初始`P`是什么位置，无穷迭代都会收敛为$(1/3:1/3:1/3)$, 此乃重心。
注意，变换并不改变投影线（方向），所以如果`P`初始为等角中心，那么无穷迭代的Ceva三角形将收敛为正三角形，因为`P`是重心兼等角中心。

最后有一个问题：给定(△ABC, P)，求作无穷迭代的结果。即给定一个由三条直线组成的线束，求作顶点在线束上，以线束中心为重心的三角形。

hujunhua

mathe 发表于 2023-3-10 09:34
存在性很容易理解。如果我们只要求OE=OD, 那么，对于任意给定的E, 当D移动到B点时:OD=00=OE,
所以其中必然 ...

考虑过投影点P、与三角形的边相切于B,C的圆锥曲线，当P在圆锥曲线上滑动时，PE与PF单调性地此消彼长，必有唯一的平衡点PE=PF。
当圆锥曲线变动时，平衡点描出使得PE=PF 的轨迹曲线，经过A和对边中点M。
同样，存在使得PD=PE的从C到AB中点的轨迹曲线，和使得PF=PD的从B到AC中点的轨迹曲线。
由于平衡曲线对应的等腰三角形之腰长的单调性，这三条轨迹曲线必有唯一的公共点。
感觉选择这样的圆锥曲线，有利于唯一性的理解和证明。

hujunhua

我试图给上楼的说明一个相对明朗的证明，竟然不那么顺利。

设`P=xA+yB+zC，(x+y+z=1,0≤x,y,z≤1)`,
`P`所在的那条圆锥曲线的齐次方程为$x^2={4k^2}/(1-k)^2yz,(0≤k={MN}/{MA}≤1)$ 。
$|PE|^2=y^2({a^2z}/{z+x}+{c^2x}/{z+x}-{b^2zx}/{(z+x)^2})$
$|PF|^2=z^2({a^2y}/{x+y}+{b^2x}/{x+y}-{c^2xy}/{(x+y)^2})$
我们要证明的是：`P` 沿圆锥曲线从 `B` 跑到 `C` 时，`|PE|`单减而`|PF|`单增, 或者${|PE|}/{|PF|}$单减。
`P` 沿圆锥曲线从 `B→C` 时，从图上可见以下变量是单调变化的:

               $y:     1→0,       z:       0→1,       x:0→k→0$

          $y/{y+z}:1→0,z/{z+x}:0→1,x/{x+y}:0→1,$

          $y/{x+y}:1→0,z/{y+z}:0→1,x/{z+x}:1→0$

接下来就有点不会了，不知道怎么做比较简明。是不是本来就错了？

nyy

wayne 发表于 2023-3-10 14:21
数值解不好对不上.

你的反馈bug，他们理你吗？
我以前反馈bug，结果人家找我要正版序列号，我当然就拿不出来，然后就没然后了！

已经跟Wolfram官方联系了, 是bug

nyy

creasson 发表于 2023-3-10 14:52
不是已知的心,  不妨设B=0, C=1, A=z, O=w, 并记$\bar{z}$为z的共轭， 则w是7次方程的解:
\[-z^8-4 w z^7 ...

你的结果是怎么来的？我也想学复数搞平面几何，我想知道过程，
最好把你的代码也贴上来！

hejoseph

hejoseph 发表于 2023-3-10 17:45
正好之前做过这个

加两个结论：
平面内的重心坐标记为 $x_1:x_2:x_3$，空间内的重心坐标记为 $x_1:x_2:x_3:x_4$，那么对于 $\triangle ABC$ 的平面内，重心坐标为 $\alpha:\beta:\gamma$ 的点关于 $\triangle ABC$ 的三线性极线方程是
\[
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3=0
\]
空间内重心坐标为 $\alpha:\beta:\gamma:\delta$ 的点关于四面体 $ABCD$ 的四线性极平面方程是
\[
\alpha x_1+\beta x_2+\gamma x_3+\delta x_4=0
\]