几道数学概率问题

Aros

应届生招聘参加了国内几家游戏公司的数学策划岗位，有几道题目感觉挺有意思（各个公司套路都一样），不过没搞懂，来分享下。
1.角色平A会暴击，暴击几率为30%（攻击10次暴击3次），如果某次不暴击，则下次的暴击几率提高25%，暴击几率可以叠加，但暴击后提高的几率清零。求无限次攻击的暴击几率的期望。
比如第一次平A没暴击，则第二次平A暴击的概率为55%，没暴击；则第三次平A暴击的概率为80%，没暴击；则第四次平A暴击的概率为100%（必定暴击），提高的几率清零；第5次平A暴击的概率变为30%
2.某道具材料有A、B、C、D4种级别，A级别最低，D级别最高。每次锻造有60%概率成功升一级（最高为D级，不会用D级材料锻造），有40%概率失败降一级（最低为A级，也就是A锻造失败也是A级）。
用A级材料锻造到D级的次数期望为多少次？用B级材料锻造到D级的次数期望为多少次？
这个倒是很容易分析
\(A_{n+1}=0.4A_n+0.4B_n \)
\(B_{n+1}=0.6A_n+0.4C_n \)
\(C_{n+1}=0.6B_n \)
\(D_{n+1}=0.6C_n+D_n \)
当然本质上这个是马尔科夫链，或者也可以用矩阵的n次幂求极限。
但是考试只有一个简单计算器，我最后没有算出来，想问下有没有方便的方法。

yigo

第二题p=0.6,q=0.4,
E(A)=1+pE(A)+qE(B),
E(B)=1+pE(C)+qE(A),
E(C)=1+qE(B) ,
解得E(A)=1/p^3+2/p

yigo

第一题要解三次方程吗，

yigo

第一题，
P(n+3)=0.3*p(n+2)+0.55*(1-p(n+2))*p(n+1)+0.85*(1-p(n+2))*(1-p(n+1))*p(n)+1*(1-p(n+2))*(1-p(n+1))*(1-p(n))
取极限p=0.3p+0.55*(1-p)*p+0.85*(1-p)^2*p+1*(1-p)^3

Aros

yigo 发表于 2023-3-13 08:55
第二题p=0.6,q=0.4,
E(A)=1+pE(A)+qE(B),
E(B)=1+pE(C)+qE(A),

这个期望怎么推的，没看懂

Aros

yigo 发表于 2023-3-13 11:53
第一题，
P(n+3)=0.3*p(n+2)+0.55*(1-p(n+2))*p(n+1)+0.85*(1-p(n+2))*(1-p(n+1))*p(n)+1*(1-p(n+2))*(1-p ...

计算器算了下0.511319

Aros

Aros 发表于 2023-3-13 12:03
这个期望怎么推的，没看懂

你这个肯定是错的啊，最开始用A级材料锻造到D级的次数期望与用B级材料锻造到D级的次数期望肯定是不一样的（初始A0=1和C0=1）。期望肯定是概率乘次数累加的。

Aros

一开始用A锻造期望次数为7.963，用B锻造期望次数为6.296，用A锻造期望次数为3.186
想知道只用计算器有啥好办法

cgl74

第一题，题目条件是清楚的；但是要证明的结论没理解。n次攻击下，暴击0次，暴击1次，到暴击n次，有一个概率分布表。这时有一个期望值，是平均暴击次数，为E(n). 题目是求E(n)/n的极限吗？
第二题，我有一个解法。解法本身从基础知识开始做，显得比较繁琐。没有找到比较直接的定理应用。我就直讲思路，一步步做肯定是可解的。
1、首先建立递推方程组。
设a(n)为用n步升级，从A升级到D的概率；b(n)为用n步升级，从B升级到D的概率；c(n)为用n步升级，从C升级到D的概率；
a(n), b(n), c(n)之间是有关系的，建立3个方程组，解出a(n)。
大概是125*a(n+1) = 80*a(n) +18*a(n-1)。我中间没有仔细检查计算是否正确，但肯定可解。
2、上式利用特征根方程，直接解出a(n)的解析表达式。
a(n) = c1*d1^n + c2*d2^n；类似这样的解析表达式。d1,d2由特征根方程决定；c1,c2由初值决定。
3、直接由定义求期望： E= 1*a(1) +2*a(2)+…+n*a(n)。这个数列有固定模式可以求和，和为n的解析表达式。
4、回到题目，即当n->无穷大时，E的值。这个极限也是可求出的。

cgl74

后来我又想了下，9楼的做法虽然严谨，但是繁琐。2楼的做法简洁，但是需要理论支撑。现在我自己也可以证明这个理论支撑的部分。
1、an. bn, cn的概率的递归方程组是必须的。这个是基础。
2、可以不必须解出an的解析表达式，再进而去求E(A)的值。我们需要证明，E(A), E(B), E(C)是收敛的；然后利用an，bn，cn的概率递归式，以及极限处理法则，得到类似2楼的3个简单方程组，简单解开得到期望值。
3、E(A), E(B), E(C)是收敛的：这个证明比较繁琐一点，但我能证明它。不知道是否有现成的定理可以直接用？这个证明是必须的，这样才能得到2楼的那个简单方程组。

我看讨论的人也很少，我就不展开详细写了。有兴趣讨论的可再详细讨论。