用函数证明两点之间直线距离最短

xfhaoym

在几何里两点之间直线距离最短是公理。有人非在用函数来证明。于是就有人用变分法证明了。但很麻烦！如果用函数的台劳级数看看行不行。
$f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0){x^2}/{2!}+...$
如果这个函数只有前两项，那就是一条直线—：f(x)=a+bx.所以得证。

hujunhua

"两点之间直线距离最短"不是公理吧。
以此作为公理的话，概念上不够基本。这蕴含着跟无数的曲线长度进行比较，但是这时候曲线长度还没有定义呢。

公理是三角不等式”两边之和大于第三边“。

xfhaoym

你好，在几何上它是公理。可是在函数上要证明直线的距离是最小值。用变分法能证出来。我想用台劳级数展开多项式。前两项是不是最小值？这要讨论，我没确定。

hujunhua

xfhaoym 发表于 2023-3-18 07:53
你好，在几何上它是公理。可是在函数上要证明直线的距离是最小值。用变分法能证出来。我想用台劳级数展开多 ...

你可以试一下。
设连接两点的曲线方程为y=y(x), 那么曲线段的长度为\[
\int\sqrt{1+y'^2}\dif x
\]你把它级数展开忽略高次项的话，概念都不对，怎么证明？

xfhaoym

谢谢hujunhua的指导。
如果一个直线方程。与一个多项式的函数比较。∫(a-b)√1+y（导数平方）dx,积分出来哪个大？