非垂心四面体高线在同一二次曲面内

hejoseph

四面体 $ABCD$ 的二面角 $C\text{-}AB\text{-}D$ 记为 $\theta_{AB}$，其他二面角类似，点 $A$ 所对的面的面积记为 $S_A$，其余面的面积类似，若四面体不是垂心四面体，则四面体四条高线在一个二次曲面内，这个二次曲面的重心坐标方程是（$\alpha:\theta:\gamma:\delta$ 表示二次曲面上的点的对应于四面体 $ABCD$ 的重心坐标）
\begin{align*}
&(S_CS_D\alpha\beta\cos\theta_{AB}+S_AS_B\gamma\delta\cos\theta_{CD})(\cos\theta_{AC}\cos\theta_{BD}-\cos\theta_{AD}\cos\theta_{BC})\\
&{}-(S_BS_D\alpha\gamma\cos\theta_{AC}+S_AS_C\beta\delta\cos\theta_{BD})(\cos\theta_{AB}\cos\theta_{CD}-\cos\theta_{AD}\cos\theta_{BC})\\
&{}+(S_BS_C\alpha\delta\cos\theta_{AD}+S_AS_D\beta\gamma\cos\theta_{BC})(\cos\theta_{AB}\cos\theta_{CD}-\cos\theta_{AC}\cos\theta_{BD})
\end{align*}
这是一个单叶双曲面。



上图的asymptote代码：
import graph3;
size(200);
triple[] V={(0.053125,0.378297,-0.0781027),(-0.303125,-0.224269,-0.0781027),(0.296875,-0.224269,-0.0781027),(-0.046875,0.07024,0.234308)};
triple[] W={(0.053125,0.059256,0.222657),(0.0538988,-0.0798455,0.178588),(-0.126061,0.0257801,0.0330835),(-0.046875,0.07024,-0.0781027)};
draw(V[0]--V[1]);
draw(V[0]--V[2]);
draw(V[1]--V[2]);
draw(V[0]--V[3]);
draw(V[1]--V[3]);
draw(V[2]--V[3]);
draw(V[0]--W[0],blue);
draw(V[1]--W[1],blue);
draw(V[2]--W[2],blue);
draw(V[3]--W[3],blue);
draw(surface(V[0]--V[1]--V[2]--cycle),red+opacity(0.6));
draw(surface(V[0]--V[1]--V[3]--cycle),red+opacity(0.6));
draw(surface(V[1]--V[2]--V[3]--cycle),red+opacity(0.6));
draw(surface(V[2]--V[0]--V[3]--cycle),red+opacity(0.6));
triple f(pair t){
real xt=0.0819105*cos(t.y)*(exp(t.x)+exp(-t.x))/2;
real yt=0.14426*sin(t.y)*(exp(t.x)+exp(-t.x))/2;
real zt=0.0711403*(exp(t.x)-exp(-t.x))/2;
real x=0.00340085-0.226756*xt+0.51954*yt-0.823808*zt;
real y=-0.00484507+0.943251*xt-0.0935494*yt-0.318631*zt;
real z=0.141651+0.242608*xt+0.849309*yt+0.468844*zt;
return (x,y,z);
}
draw(surface(f,(-2.2,-pi),(2,pi),200,10,Spline),green+opacity(0.5));

hejoseph

由上面的方程又可以推得一个四面体是垂心四面体的充要条件：四面体$ABCD$是垂心四面体的充要条件是
\[
\cos\theta_{AB}\cos\theta_{CD}=\cos\theta_{AC}\cos\theta_{BD}=\cos\theta_{AD}\cos\theta_{BC}
\]

nyy

hejoseph 发表于 2023-3-21 14:15
由上面的方程又可以推得一个四面体是垂心四面体的充要条件：四面体$ABCD$是垂心四面体的充要条件是
\[
\c ...

垂心四面体(orthocentric tetrahedron)一种特殊的四面体。有两双对棱互相垂直的四面体，称为垂心四面体或正交四面体

难道没办法三对对棱都互相垂直吗？？？

我第一次知道垂心四面体这个概念



有两条对棱互相垂直的四面体第三条对棱也垂直
https://iask.sina.com.cn/b/iREI6h7TzRPB.html

lihpb00

看不懂代码