证明：4b^2/a∫x^2／√[(x^2-1)(1-b^2x^2/a^2)]dx=4∫√[a^2-(a^2-b^2)(sinθ)^2]dθ

笨笨

证明下列积分等式成立

\(\displaystyle\frac{{{4b^2}}}{a}\int_1^{\frac{a}{b}} {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {1 - \frac{{{b^2}{x^2}}}{{{a^2}}}} \right)} }}} dx = 4\int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {{a^2} - \left( {{a^2} - {b^2}} \right){{\sin }^2}\theta } } d\theta \)

笨笨

右边=\[4\int_0^{\frac π2} {\sqrt {(a\cosθ)^2+(b\sinθ)^2 } } d\theta
\]是椭圆\[
\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]的周长。

gxqcn

既如此，可令 \(x=\dfrac{a}{b}\cos\theta\quad\left(\theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\)

当 \(a == b\) 时，椭圆退化为圆：左边式子分母根号下居然为非正数，应该是错误的！

笨笨

gxqcn 发表于 2023-3-23 08:56
既如此，可令 \(x=\dfrac{a}{b}\cos\theta\quad\left(\theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\)
...

忘了写限制条件了：0<b<a，看看是否成立

gxqcn

gxqcn 发表于 2023-3-23 08:56
既如此，可令 \(x=\dfrac{a}{b}\cos\theta\quad\left(\theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\)
...

没注意到积分上下限，应该令 \(x=\dfrac{\sqrt{a^2\sin^2{\theta}+b^2\cos^2{\theta}}}{b} \quad \left(\theta \in \left[0,\dfrac{\pi}{2}\right]\right)\)
再将 \(\dif x\) 用 \(\dif\theta\) 表达，余下的工作，就是三角运算的事了。

笨笨

gxqcn 发表于 2023-3-24 17:06
没注意到积分上下限，应该令 \(x=\dfrac{\sqrt{a^2\sin^2{\theta}+b^2\cos^2{\theta}}}{b} \quad \left(\ ...

前辈你好，我通过三角运算二者不相等，但通过数值积分计算，发现主贴等式貌似是成立的，真费解

笨笨

笨笨 发表于 2023-3-24 21:02
前辈你好，我通过三角运算二者不相等，但通过数值积分计算，发现主贴等式貌似是成立的，真费解

按照前辈的方法走，主贴等式是相等的。



疑问，同样的数据为什么有时相等，有时不相等，说明了什么，而且同一组数据靠的这么近且不同的积分，为什么会产生这种微小偏差呢？？？

细节疑问，请看红色笔记处。

gxqcn

一点小技巧：将 \(\dif x\) 用 \(\dif\theta\) 表达，
可先转化为 \(\dif x = \dfrac{\dif(x^2)}{2x}\)，再进行代换，微分中就没有开方运算了。

笨笨

gxqcn 发表于 2023-3-25 10:32
一点小技巧：将 \(\dif x\) 用 \(\dif\theta\) 表达，
可先转化为 \(\dif x = \dfrac{\dif(x^2)}{2x}\)， ...

谢谢前辈指导，请看楼上第二张图片我的疑问