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[求助] 发现了一个精度很高的椭圆周长公式,谁知道它是怎么推导出来的

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发表于 2023-3-25 19:07:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 笨笨 于 2023-3-25 19:10 编辑

\(\Large C \approx \pi \left( {a + b} \right)\left( {1 + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{2 + {{\cos }^2}\frac{1}{2}\theta }}} \right)\),\(0 \le \theta  \le \pi \)

其中\(\small\sin \theta  = \lambda \sin \varphi \),\(\lambda  = \frac{{a - b}}{{a + b}}\)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-3-25 19:32:19 | 显示全部楼层
里面的参数是什么意思?有谁知道吗?
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 楼主| 发表于 2023-3-25 19:41:14 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2023-3-25 19:32
里面的参数是什么意思?有谁知道吗?


a,b分别是椭圆的长短半轴啊
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发表于 2023-3-25 21:09:25 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2023-3-25 19:41
a,b分别是椭圆的长短半轴啊

你为什么对这个问题很感兴趣呢?
我搜索了一下,发现群里这个周长问题,
你发了好几个。难道用软件加椭圆积分,
不比你的那些近似公式好很多吗?
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 楼主| 发表于 2023-3-25 21:43:08 | 显示全部楼层
本帖最后由 笨笨 于 2023-3-25 21:45 编辑
nyy 发表于 2023-3-25 21:09
你为什么对这个问题很感兴趣呢?
我搜索了一下,发现群里这个周长问题,
你发了好几个。难道用软件加椭 ...


没有软件怎么办,美国佬不给你用怎么办?以前没电脑怎么办,现在美国,荷兰阿斯麦不卖光刻机给你怎么办,,啥也用不了,这些都是前辈们留下来了的宝贵知识,我只是想学习一下,纯属个人爱好,感谢关注本帖
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发表于 2023-3-25 22:39:18 | 显示全部楼层
笨笨 发表于 2023-3-25 21:43
没有软件怎么办,美国佬不给你用怎么办?以前没电脑怎么办,现在美国,荷兰阿斯麦不卖光刻机给你怎么办 ...

级数展开呀!我记得单摆也能级数展开的!
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发表于 2023-3-27 08:57:27 | 显示全部楼层
那两个角度是什么意思?
维基百科上面有椭圆周长的级数展开!
你想多精确就有多精确,何必搞什么近似呢?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2023-3-27 09:12:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 nyy 于 2023-3-27 09:20 编辑
  1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/13)^2 + (y/11)^2 == 1, {x, y}]]
复制代码

返回结果
52 EllipticE[48/169]

  1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/Pi)^2 + (y/E)^2 == 1, {x, y}]]
复制代码


结果
\[4 \pi  E\left(\frac{-e^2+\pi ^2}{\pi ^2}\right)\]

  1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/E)^2 + (y/Pi)^2 == 1, {x, y}]]
复制代码


结果
\[4 e E\left(\frac{e^2-\pi ^2}{e^2}\right)\]
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发表于 2023-3-27 09:29:05 | 显示全部楼层
nyy 发表于 2023-3-27 09:12
返回结果
52 EllipticE[48/169]

找到这个函数,然后会套上面的公式,你想计算多少位都可以!
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发表于 2023-3-27 11:43:54 | 显示全部楼层
中学生思考S·Ramanjuan之椭圆周长探索、学习及试图给出分析几点概要
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8&fromuid=14149


椭圆周长的这个近似公式谁会推导
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 3&fromuid=14149


有谁知道这个椭圆周长近似公式是咋推导出来
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 2&fromuid=14149


发现了一个精度很高的椭圆周长公式,谁知道它是怎么推导出来的
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9&fromuid=14149

这些都是你发的


点评

感谢前辈关注  发表于 2023-3-27 19:45
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