发现了一个精度很高的椭圆周长公式，谁知道它是怎么推导出来的

笨笨

\(\Large C \approx \pi \left( {a + b} \right)\left( {1 + \frac{{{{\sin }^2}\theta }}{{2 + {{\cos }^2}\frac{1}{2}\theta }}} \right)\)，\(0 \le \theta  \le \pi \)

其中\(\small\sin \theta  = \lambda \sin \varphi \)，\(\lambda  = \frac{{a - b}}{{a + b}}\)

nyy

里面的参数是什么意思？有谁知道吗？

笨笨

nyy 发表于 2023-3-25 19:32
里面的参数是什么意思？有谁知道吗？

a,b分别是椭圆的长短半轴啊

nyy

笨笨 发表于 2023-3-25 19:41
a,b分别是椭圆的长短半轴啊

你为什么对这个问题很感兴趣呢？
我搜索了一下，发现群里这个周长问题，
你发了好几个。难道用软件加椭圆积分，
不比你的那些近似公式好很多吗？

笨笨

nyy 发表于 2023-3-25 21:09
你为什么对这个问题很感兴趣呢？
我搜索了一下，发现群里这个周长问题，
你发了好几个。难道用软件加椭 ...

没有软件怎么办，美国佬不给你用怎么办？以前没电脑怎么办，现在美国，荷兰阿斯麦不卖光刻机给你怎么办，，啥也用不了，这些都是前辈们留下来了的宝贵知识，我只是想学习一下，纯属个人爱好，感谢关注本帖

nyy

笨笨 发表于 2023-3-25 21:43
没有软件怎么办，美国佬不给你用怎么办？以前没电脑怎么办，现在美国，荷兰阿斯麦不卖光刻机给你怎么办 ...

级数展开呀！我记得单摆也能级数展开的！

nyy

那两个角度是什么意思？
维基百科上面有椭圆周长的级数展开！
你想多精确就有多精确，何必搞什么近似呢？

nyy

1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/13)^2 + (y/11)^2 == 1, {x, y}]]

复制代码

返回结果
52 EllipticE[48/169]

1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/Pi)^2 + (y/E)^2 == 1, {x, y}]]

复制代码

结果
\[4 \pi  E\left(\frac{-e^2+\pi ^2}{\pi ^2}\right)\]

1. ArcLength[ImplicitRegion[(x/E)^2 + (y/Pi)^2 == 1, {x, y}]]

复制代码

结果
\[4 e E\left(\frac{e^2-\pi ^2}{e^2}\right)\]

nyy

nyy 发表于 2023-3-27 09:12
返回结果
52 EllipticE[48/169]

找到这个函数，然后会套上面的公式，你想计算多少位都可以！

nyy

中学生思考S·Ramanjuan之椭圆周长探索、学习及试图给出分析几点概要
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 8&fromuid=14149


椭圆周长的这个近似公式谁会推导
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 3&fromuid=14149


有谁知道这个椭圆周长近似公式是咋推导出来
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 2&fromuid=14149


发现了一个精度很高的椭圆周长公式，谁知道它是怎么推导出来的
https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 9&fromuid=14149

这些都是你发的