这个关于托勒密定理的知识回答，谁能看懂？

nyy

运用复数证明平面几何的原理有哪些？ - 寨森Lambda-CDM的回答 - 知乎
https://www.zhihu.com/question/445558912/answer/1748141528

我看不懂，所以我发到论坛上问问。尤其是经过计算，我看不懂！

nyy

按照他的证明，似乎托勒密定理很容易证明，但是我没看懂。谁能出来解释解释

nyy

@hujunhua 图片上用红笔画出来的“经过计算”，或者你说具体的，你怎么搞

hujunhua

1、`\D f:z\mapsto\frac1z`把过原点的圆变成直线
这与基于单位圆的圆反演`\D f:z\mapsto\frac1{\bar z}`就差一个共扼反射，当然是把过原点的圆变成直线。
用复数方式证明如下。过原点的圆的复数形式的方程为\[
z\bar z+\bar cz+c\bar z=0
\] 经变换`\D f:z\mapsto\frac1z`会变成\[
\frac1{z\bar z}+\bar c\frac1z+c\frac1{\bar z}=0
\]两边乘以`z\bar z`化为整式\[
cz+\bar c\bar z+1=0
\]这正是一个复数形式的直线方程。
2、B, C, D按顺序变成该直线上的B', C', D'，在该直线上自然有D'C'+C'B'=D'B'.
将B'=1/B, C'=1/C, D'=1/D代入得
       |1/C-1/D|+|1/B-1/C|=|1/B-1/D|  -> |B||D-C|+|D||C-B|=|C||D-B|
由于A为原点，所以|B|=|B-A|=AB，|C|=|C-A|=AC, |D|=|D-A|=AD，代入上式得
AB·CD+AD·BC=AC·BD

nyy

hujunhua 发表于 2023-3-30 12:01
1、`\D f:z\mapsto\frac1z`把过原点的圆变成直线
这与基于单位圆的圆反演`\D f:z\mapsto\frac1{\bar z}`就 ...

你以前就知道这些吗？还是看了他的文字，然后自己理解出来的？
我感觉似乎真的有复直线！但是不知道复数直线的法向量怎么个指法！

nyy

hujunhua 发表于 2023-3-30 12:01
1、`\D f:z\mapsto\frac1z`把过原点的圆变成直线
这与基于单位圆的圆反演`\D f:z\mapsto\frac1{\bar z}`就 ...

你比我牛逼多了，我看他的东西，我就看不明白他怎么计算的，你一下子就看明白了！
托勒密定理用复数证明，这是我见过的最漂亮的数学证明之一！

nyy

平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式
https://baike.baidu.com/item/%E6 ... 9A%E7%90%86/2675936
这个，和你说的是一回事吗

nyy

nyy 发表于 2023-7-4 09:07
平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式
https://baike.baidu.com/item/%E6%89%98%E5%8B%92%E5%AF%86 ...

@mathe 那你如何由平面上的三角不等式来证明托勒密不等式呢？

完全相同的方案，对于四边形ABCD,以A点为反演中心做反演，得到B'C'D'只有在四边形ABCD四点共圆时共线，所以我们有|D'C'|+|C'B'|>=|D'B'|,只有ABCD四点共圆是才可能取等号。
然后使用hujunhua方法替换回去即可。