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[求助] 方程组求解。

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发表于 2023-3-29 13:39:44 | 显示全部楼层 |阅读模式

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神奇的 MMA,我是崇拜得不行不行的,

求解方程组:\[\begin{cases}
\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{2 \sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{4 a \sqrt{x}}\\
\\
a \ln(x) + \sqrt{x+1} = \dfrac{\sqrt{x}}{2 a}
\end{cases}\]请问谁能读懂它的心思?
MMA 参考代码:
  1. Solve[{a/x + 1/(2 Sqrt[x + 1]) == 1/(4 a Sqrt[x]),
  2. a Log[x] + Sqrt[x + 1] == Sqrt[x]/(2 a)}, {x, a}, Reals]
复制代码
2023-03-29_132457.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2023-3-29 13:53:11 | 显示全部楼层
先画等值线图,确定根的大致范围,然后用牛顿迭代法求数值解!这位我会,我不止一次这么干过
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发表于 2023-3-29 14:16:30 | 显示全部楼层
  1. Clear["Global`*"];(*删除所有变量*)
  2. (*定义两个函数*)
  3. f=a/x+1/(2*Sqrt[x+1])-1/(4*a*Sqrt[x])
  4. g=a*Log[x]+Sqrt[x+1]-Sqrt[x]/(2*a)
  5. (*绘制等值线图,看等值线的交点,交点作为牛顿迭代法的初始值*)
  6. ContourPlot[{f==0,g==0},{x,-1,20},{a,-5,5},PlotPoints->100]
  7. (*牛顿迭代法求解三个根,初始值从函数图像的交点上附近找*)
  8. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,0.1},{a,0.1}},WorkingPrecision->20]
  9. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,1},{a,1}},WorkingPrecision->20]
  10. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,8},{a,-2}},WorkingPrecision->20]
复制代码


图片我就不给你传了,给郭先强节省一点点空间

求解结果
  1. {x -> 0.0071216611120466503644, a -> 0.14348645390183962374}

  2. {x -> 1.0000000000000000000, a -> 0.35355339059327376220}

  3. {x -> 8.8100183080568324651, a -> -1.8152027137781061088}
复制代码

点评

谢谢,求数值解其实不难。  发表于 2023-3-29 14:24
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发表于 2023-3-29 16:16:58 | 显示全部楼层
软件能求解的时候,你觉得不难,当软件求解不出来的时候,你就会觉得难,我是把方法告诉你,或者说我告诉你的是一种方法!
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 楼主| 发表于 2023-3-29 16:50:48 | 显示全部楼层
本帖最后由 uk702 于 2023-3-29 16:59 编辑
nyy 发表于 2023-3-29 16:16
软件能求解的时候,你觉得不难,当软件求解不出来的时候,你就会觉得难,我是把方法告诉你,或者说我告诉你 ...


首先感谢你提供的方法。

不好意思,我没说清楚。我开这个帖子,主要是这两个诉求:
1)MMA 是怎么对第一个例子求“形式解/解析解”的,特别是它怎么找到 {x=1, a=1/(2√2)} 的,应该不会是象我们一样蒙的吧?对我来说,对这个方程进行理论求解实在太神奇了,如果不是先进行数值解再假意转化为理论解,它的能力实在太过逆天了。

2)对第一个例子,为什么 Solve 能找到“形式解”,而 NSolve 却不能给出数值解(其实是“假装”不能)?NSolve 不就是用来求数值解的吗?下面的例2,不是已经说明了 NSolve 也能做数值解。

好像有个说法,能让 MMA 进入调试状态(或者叫“跟踪”状态),这时 MMA 会将它的解题过程分成几个步骤显示出来,不知是否真能打开这个开关。

其实就是希望如果谁了解 MMA 如何进行理论求解,能够解答一下。

点评

目前只发现有少量方法(如 FindRoot) 支持EvaluationMonitor 选项,能够显示求解(迭代)过程。  发表于 2023-3-29 18:24
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发表于 2023-3-31 15:08:49 | 显示全部楼层
听说过破解吗?你可以学破解,里面都是汇编,你可以跟着程序一步一步走,然后你就知道软件如何思考的,不过非常烦人
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