方程组求解。

uk702

神奇的 MMA，我是崇拜得不行不行的，

求解方程组：\[\begin{cases}
\dfrac{a}{x}+\dfrac{1}{2 \sqrt{x+1}}=\dfrac{1}{4 a \sqrt{x}}\\
\\
a \ln(x) + \sqrt{x+1} = \dfrac{\sqrt{x}}{2 a}
\end{cases}\]请问谁能读懂它的心思？
MMA 参考代码：

1. Solve[{a/x + 1/(2 Sqrt[x + 1]) == 1/(4 a Sqrt[x]),
   
2. a Log[x] + Sqrt[x + 1] == Sqrt[x]/(2 a)}, {x, a}, Reals]

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nyy

先画等值线图，确定根的大致范围，然后用牛顿迭代法求数值解！这位我会，我不止一次这么干过

nyy

1. Clear["Global`*"];(*删除所有变量*)
   
2. (*定义两个函数*)
   
3. f=a/x+1/(2*Sqrt[x+1])-1/(4*a*Sqrt[x])
   
4. g=a*Log[x]+Sqrt[x+1]-Sqrt[x]/(2*a)
   
5. (*绘制等值线图,看等值线的交点,交点作为牛顿迭代法的初始值*)
   
6. ContourPlot[{f==0,g==0},{x,-1,20},{a,-5,5},PlotPoints->100]
   
7. (*牛顿迭代法求解三个根,初始值从函数图像的交点上附近找*)
   
8. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,0.1},{a,0.1}},WorkingPrecision->20]
   
9. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,1},{a,1}},WorkingPrecision->20]
   
10. FindRoot[{f==0,g==0},{{x,8},{a,-2}},WorkingPrecision->20]
    

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图片我就不给你传了，给郭先强节省一点点空间

求解结果

1. {x -> 0.0071216611120466503644, a -> 0.14348645390183962374}
   
2. 
   
3. {x -> 1.0000000000000000000, a -> 0.35355339059327376220}
   
4. 
   
5. {x -> 8.8100183080568324651, a -> -1.8152027137781061088}

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nyy

软件能求解的时候，你觉得不难，当软件求解不出来的时候，你就会觉得难，我是把方法告诉你，或者说我告诉你的是一种方法！

uk702

nyy 发表于 2023-3-29 16:16
软件能求解的时候，你觉得不难，当软件求解不出来的时候，你就会觉得难，我是把方法告诉你，或者说我告诉你 ...

首先感谢你提供的方法。

不好意思，我没说清楚。我开这个帖子，主要是这两个诉求：
1）MMA 是怎么对第一个例子求“形式解/解析解”的，特别是它怎么找到 {x=1, a=1/(2√2)} 的，应该不会是象我们一样蒙的吧？对我来说，对这个方程进行理论求解实在太神奇了，如果不是先进行数值解再假意转化为理论解，它的能力实在太过逆天了。

2）对第一个例子，为什么 Solve 能找到“形式解”，而 NSolve 却不能给出数值解（其实是“假装”不能）？NSolve 不就是用来求数值解的吗？下面的例2，不是已经说明了 NSolve 也能做数值解。

好像有个说法，能让 MMA 进入调试状态(或者叫“跟踪”状态)，这时 MMA 会将它的解题过程分成几个步骤显示出来，不知是否真能打开这个开关。

其实就是希望如果谁了解 MMA 如何进行理论求解，能够解答一下。

nyy

听说过破解吗？你可以学破解，里面都是汇编，你可以跟着程序一步一步走，然后你就知道软件如何思考的，不过非常烦人