两两共一焦点的三个相似椭圆相交于一点

hejoseph · 发表于 2023-4-6 10:27:54

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给定三点A, B, C，历选其二为焦点作过点 P 的椭圆，如果这三个椭圆相似，求椭圆的离心率以及点 P 的位置。
△的等离点.PNG

问题来自几何微信群里的张德鹏先生，以下是我的解答。

三个相似椭圆.pdf (35.87 KB, 下载次数: 29)

nyy · 发表于 2023-4-6 11:19:54

传上来不好吗？我不喜欢下载

陈九章 · 发表于 2023-4-6 12:07:29

\[P_1P_2=r\sqrt{\frac{k(k+4)}{1-2k}}=r\sqrt{\frac{r(r+4R)}{R(R-2r)}}\]
为张老师，何老师点赞！
这个公式简洁而优美，而且R-2r、R(R-2r)、4R+r有明显的几何意义！

hujunhua · 发表于 2023-4-6 19:09:31

创意不错，可以称之为“三角形的等离心率点”，简称为等离点。

nyy · 发表于 2023-4-7 09:30:18

你说的椭圆相似，是指椭圆的离心率相等吗？这个问题不交代清楚，问题就很难回答！

nyy · 发表于 2023-4-8 11:51:18

先从一个特殊的开始吧。比如三角形三边是5,6,7然后求这个交点

mathe · 发表于 2023-4-9 07:55:04

题目出得不错。
做关于三角形两个顶点的阿氏圆经过内切圆在边上的切点。
三个阿氏圆交于P点

根据定义有
$\frac{AP+BP}{AB}=\frac{AP+CP}{AC}=\frac{BP+CP}{BC}$
可以得出
$AP:BP:CP=AB+AC-BC:AB+BC-AC:BC+AC-AB$
于是P点在到A,B两点距离比列为$AB+AC-BC:AB+BC-AC$的阿氏圆上，而内切圆的切点显然也在上面

mathe · 发表于 2023-4-9 10:06:01

这个图把椭圆给补上，蓝色(P在三角形内部)或绿色（P在三角形外部）两个解

hejoseph · 发表于 2023-4-9 19:05:38

本帖最后由 hejoseph 于 2023-4-9 21:18 编辑

作图法其实从文档的第一段推导就已经知道了，包括等积、等比点都是用阿波罗尼斯圆作图的，但是里面还有一些性质需要再深入探讨性质才能得到，例如后面提到的这些点在外心、内心的连线上，并且 OI/OP 是离心率的平方这个关系

hejoseph · 发表于 2023-4-10 10:22:45

发一下我的作图方法，我是直接确定阿波罗尼斯圆的直径，具体看下图

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