积分的问题

chenbingjy

这个积分等于Π/2是怎么得出来的，谢谢！

buck114

一种办法是构造围道积分, 所构造回路和处理方法都和Laplace积分的一样

另一种办法是通过Laplace变换的一个公式
$\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(\tau)d\tau$

这个公式的证明过程如下:
记$g(t)=\frac{f(t)}{t}$, 则$t\cdot g(t)=f(t)$
两边同时进行Laplace变换得到:
$F(s)=\int_{0}^{\infty}t\cdot g(t)e^{-st}d t$
注意到原式等价于
$F(s)=-\frac{d}{ds}G(s)$
两边同时从$s$到$\infty$积分即可得到
$\int_{s}^{\infty}F(\tau)d \tau=G(s)-\lim_{x\to 0}{G(x)}=G(s)$
即$\mathcal{L}[\frac{f(t)}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(\tau)d\tau$

在这个公式中令$f(t)=\sin t$, 则$\mathcal{L}[\frac{\sin t}{t}]=\int_{s}^{\infty}F(\tau) d\tau=\int_{s}^{\infty}\frac{1}{\tau^2+1}d\tau$

取$s=0$立得$\int_{0}^{\infty}\frac{\sin x}{x}d x=\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2+1}d x=\arctan x|_{0}^{\infty}=\frac{\pi}{2} $

补充内容 (2023-4-17 12:19):
记错了一点, 围道积分构造的回路应该是$\gamma_R, \gamma_I, \gamma_{II}, \gamma_r$这样的半圆盘, 在$\gamma_R$上的处理和Laplace积分一样.或者直接用Jordan引理.

chenbingjy

buck114 发表于 2023-4-16 21:34
一种办法是构造围道积分, 所构造回路和处理方法都和Laplace积分的一样

另一种办法是通过Laplace变换的一 ...

谢谢

chenbingjy

感觉好复杂幺，不过还是谢谢你