三角形的等和点、等差点、等积点、等比点

hejoseph

若已知 $\triangle ABC$ 以及平面内一点 $P$，则
等和点：满足 $PA+BC=PB+CA=PC+AB$ 的点 $P$。
等差点：满足 $PA-BC=PB-CA=PC-AB$ 的点 $P$。
等积点：满足 $PA\cdot BC=PB\cdot CA=PC\cdot AB$ 的点 $P$。
等比点：满足 $\frac{PA}{BC}=\frac{PB}{CA}=\frac{PC}{AB}$ 的点 $P$。
等积点又称为等力点。

Soddy 圆：若已知三个两两外切的圆 $A$、$B$、$C$，与这三个圆都相切的圆就称为 Soddy 圆。若 Soddy 圆在 $\triangle ABC$ 内部，则称为内 Soddy 圆；若 Soddy 圆在 $\triangle ABC$ 外部，则称为外 Soddy 圆。

三角形的等和点、等差点就是 Soddy 圆的圆心，具体分布情形：
（1）内 Soddy 圆的圆心一定是等和点；
（2）外 Soddy 圆与圆 $A$、$B$、$C$ 都内切时候，Soddy 圆圆心是等差点（下图 1）；
（3）外 Soddy 圆与圆 $A$、$B$、$C$ 都外切时候，Soddy 圆圆心是等和点（下图 2）；
（4）圆 $A$、$B$、$C$ 有公切线（下图 3），则不存在外 Soddy 圆，也就不存在等差点。




$\triangle ABC$ 的内 Soddy 圆圆心是 $P$，半径是 $p$。$\triangle ABC$ 的外 Soddy 圆圆心是 $Q$，半径是 $q$。$\triangle ABC$ 的内心是 $I$，$\triangle ABC$ 的 Gergonne 点是 $G$。则点 $G$、$P$、$I$、$Q$ 共线，并且
\[
\frac{GP}{GQ} = \frac{PI}{IQ} = \frac{p}{q}
\]

等积点和等比点很容易用 Apollonius 圆作图得到。

$\triangle ABC$ 中，$O$ 是外心，$K$是类似重心，则两等积点调和分割 $OK$。

$\triangle ABC$ 的等比点在这个三角形的 Euler 线上。

设
\[
\frac{BC}{PA} = \frac{CA}{PB} = \frac{AB}{PC} = t
\]
代入四点距离关系的方程，求得
\[
t = \frac{1}{abc}\sqrt{\frac{u \pm 4S\sqrt{v}}{2}}
\]
其中
\begin{align*}
u &= -a^6 - b^6 - c^6 + a^4b^2 + a^2b^4 + b^4c^2 + b^2c^4 + c^4a^2 + c^2a^4 \\
v &= (a^2 + b^2 + c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 - b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2)
\end{align*}
从这个式子可以看到，只要是钝角三角形就不存在等比点，至于其他情形等比点是否存在我还未仔细分析，如有兴趣可以做做。

TSC999

1# 楼中的图 1，如果已知三角形各顶点的坐标 (xA，yA)、(xB，yB)、(xC，yC)，问：Soddy 圆的圆心坐标是多少？

hejoseph

已经确定了，不是钝角三角形是必定存在等比点的。

$\triangle ABC$ 的外心是 $O$，共轭重心是 $K$，等积点是 $P$，$BC \cdot PA = CA \cdot PB = AB \cdot PC = t$，则点 $P$在直线 $OK$ 上，且
\[
\frac{\overline{OP}}{\overline{OK}}=\frac{t^2(a^2+b^2+c^2)}{2a^2b^2c^2}。
\]

通过上面的结论可对等积点结论的细化：
$\triangle ABC$ 的面积是 $S$，外心是 $O$，类似重心是$K$，两个等积点分别是 $P_1$、$P_2$，则
\[
\frac{OP_1}{P_1K}=\frac{OP_2}{P_2K}=\frac{a^2+b^2+c^2}{4\sqrt{3}S}，
\]
故两个等积点调和分割 $OK$。

$\triangle ABC$ 的重心是 $G$，外心是$O$，等比点是 $P$，$\frac{BC}{PA} = \frac{CA}{PB} = \frac{AB}{PC} = t$，则点 $P$ 在 $\triangle ABC$ 的 Euler 线上，且
\[
\frac{\overline{OP}}{\overline{OG}}=-\frac{3}{t^2}。
\]

通过上面的结论又可得：
$\triangle ABC$ 的垂心是 $H$，外心是 $O$，外接圆半径是 $R$，两个等比点分别 是$P_1$、$P_2$，则
\[
\overline{OP_1}\cdot\overline{OP_2}=R^2，\overline{HP_1}\cdot\overline{HP_2}=4R^2，
\]
故 $P_1$、$P_2$ 互为 $\triangle ABC$ 外接圆的反演点。

hejoseph

Soddy 圆作图法

给定三圆 $\odot A$、$\odot B$、$\odot C$，$\odot A$、$\odot B$ 外切于 $F$，$\odot A$、$\odot C$ 外切于 $E$，$\odot B$、$\odot C$ 外切于 $D$，求作 $\triangle ABC$ 的外 Soddy 圆。

作图法：作直线 $BC$ 与直线 $EF$ 的交点 $P$，过点 $P$ 作 $\odot A$ 的切线。若直线 $BC$ 与直线 $EF$ 平行，则作与直线 $BC$ 平行的 $\odot A$ 的切线。在 $\triangle ABC$ 外的切点为 $Q$。同法作出 $\odot B$ 的切点 $R$，$\odot C$ 的切点 $S$，则$\triangle QRS$ 的外接圆就是 $\triangle ABC$ 的外 Soddy 圆。

hejoseph

等差点又有一个很有趣的性质：若 $P$ 是 $\triangle ABC$ 的等差点，那么 $\triangle PBC$、$\triangle PCA$、$\triangle PAB$ 的周长是相等的，因此等差点又称为三角形的等周点。

TSC999

与三个圆相外切的 Soddy 圆的圆心坐标可由下式确定。若三圆的圆心互连成三角形ABC，将 B 点置于坐标系原点 (0, 0)，BC 边与坐标系横轴重合。若将三角形内切圆半径作为一个长度单位，已知 C、D 点的坐标 \(c、d\) 时，

即可确定 Soddy 圆的圆心坐标如下公式所示。其中 D 点是三角形ABC 的内切圆与 BC 边的切点。下面公式中，圆心 S 点的坐标由一个复数表示，其实部和虚部如下式所示。\(c、d\) 点的坐标都是正的实数。



例如对于上图而言，已知 \(c = 3.65605， d = 2.51276\)，即 BC 的长度等于三角形ABC 内切圆半径的 \(3.65605\) 倍，BD 的长度等于内切圆半径的 \(2.51276\) 倍，按公式可算得 Soddy 圆的圆心坐标为：

\(S= 0.771452 + 1.9918 i\) 。

hejoseph

TSC999 发表于 2023-4-12 21:45
与三个圆相外切的 Soddy 圆的圆心坐标可由下式确定。若三圆的圆心互连成三角形ABC，将 B 点置于坐标系原点  ...

$\triangle ABC$ 的内 Soddy 圆圆心是 $O$，$BC+OA=CA+OB=AB+OC$ 称为 $\triangle ABC$ 的内 Soddy 值。$\triangle ABC$ 的外 Soddy 圆圆心是 $O$，外 Soddy 内包含 $\triangle ABC$ 时 $BC-OA=CA-OB=AB-OC$ 称为 $\triangle ABC$ 的外 Soddy 值，外 Soddy 不包含 $\triangle ABC$ 时 $BC+OA=CA+OB=AB+OC$ 称为 $\triangle ABC$ 的外Soddy 值。$\triangle ABC$ 的内 Soddy值和 $\triangle ABC$ 的外 Soddy 值统称为 $\triangle ABC$ 的 Soddy 值。

$\triangle ABC$ 中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，半周长是 $p$，面积是 $S$，令
\begin{align*}
q&=ab+ac+bc\\
t&=-(p^2-q)(5p^2-q)-4abcp\\
u&=2p(p^2-q)(3p^2-q)+abc(5p^2-q)\\
v&=S(p-a)(p-b)(p-c)
\end{align*}
则内、外 Soddy 值分别是
\[
\frac{-u+2v}{t}，\frac{-u-2v}{t}
\]

$\triangle ABC$ 中，$BC=a$，$CA=b$，$AB=c$，半周长是 $p$，面积是 $S$，Soddy 值是 $t$，令
\[
f(x,y,z)=\left(x\left(3x^2-2x(y+z)-(y-z)^2\right)+8(p-a)(p-b)(p-c)\right)t+2x^2(y^2+z^2-x^2)
\]
则 Soddy 圆圆心的关于 $\triangle ABC$ 的标准重心坐标是
\[
\left(\frac{f(a,b,c)}{8S^2}-1,\frac{f(b,c,a)}{8S^2}-1,\frac{f(c,a,b)}{8S^2}-1\right)
\]

若平面三点 $A$、$B$、$C$ 的坐标分别是 $(x_A, y_A)$、$(x_B, y_B)$、$(x_C, y_C)$，点 $P$ 的重心坐标是 $(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$，则点 $P$ 的坐标是
\[
\left(\frac{\lambda_1x_A + \lambda_2x_B + \lambda_3x_C}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3},\frac{\lambda_1y_A + \lambda_2y_B + \lambda_3y_C}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3}\right)
\]
标准重心坐标满足 $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3=1$。

用上面这个结论即可把重心坐标转化为直角坐标。另外，从上面得到的 Soddy 值也可以确定 Soddy 圆圆心到三角形各顶点的距离。

creasson

对复平面上的\(\triangle{ABC}\)，令$s = \tan \frac{A}{2},  t = \tan \frac{B}{2}$, 则
\[Soddy_{\text{内}} = B + \frac{{{{(1 + s + t - it)}^2}(1 - st)}}{{{{(1 - it)}^2}(1 + 2s + {s^2} + 2t + st + {t^2})}}(C - B)\]
\[Soddy_{\text{外}} = B + \frac{{{{(1 - s - t - it)}^2}(1 - st)}}{{{{(1 - it)}^2}(1 - 2s + {s^2} - 2t + st + {t^2})}}(C - B)\]
Soddy圆半径
\[{R_内} = \frac{{t(s + t)(1 - st)}}{{(1 + {t^2})(1 + 2s + {s^2} + 2t + st + {t^2})}}|BC|\]
\[{R_外} = \frac{{t(s + t)(1 - st)}}{{(1 + {t^2})( - 1 + 2s - {s^2} + 2t - st - {t^2})}}|BC|\]

hejoseph

creasson 发表于 2023-4-13 10:46
对复平面上的\(\triangle{ABC}\)，令$s = \tan \frac{A}{2},  t = \tan \frac{B}{2}$, 则
\[Soddy_{\text{ ...

Soddy 圆半径用一下笛卡尔定理比较容易得到，而且公式很好看。
https://baike.baidu.com/item/%E7 ... A%E7%90%86/20406483

hejoseph

两 Soddy 圆圆心距离有较为简单的结论：三角形的两 Soddy 圆半径分别是$u$、$v$，则三角形在外 Soddy 圆内时两 Soddy 圆圆心距离是
\[
\sqrt{u^2+v^2-14uv}
\]
三角形在外 Soddy 圆外时两 Soddy 圆圆心距离是
\[
\sqrt{u^2+v^2+14uv}
\]