你们有啥被骗的经历？

nyy

四边形的面积公式 - 自在哲人的文章 - 知乎
https://zhuanlan.zhihu.com/p/25937122

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. {a,b,c,d}={n-1,n,n+1,n+2}
   
3. p=(a+b+c+d)/2
   
4. area=Sqrt[(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)]//Factor
   
5. f=area^2-(n(n+1))^2//Simplify
   
6. fn=D[f,n]
   

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面积平方差是
-2 n (1 + n)<0
所以你原来的命题是成立的！

王守恩

四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2,   求证：四边形的最大面积 < n(n+1)。

1,四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2 时，四边形的最大面积 =\(\sqrt{(n-1)*n*(n + 1)*(n + 2)}\)

2,当\(a(n) =\sqrt{(n-1)*n*(n + 1)*(n + 2) + 1}\)时，可以是下面的数字串：

{1, 5, 11, 19, 29, 41, 55, 71, 89, 109, 131, 155, 181, 209, 239, 271, 305, 341, 379, 419, 461,505, 551,
599, 649, 701, 755, 811, 869, 929, 991, 1055, 1121, 1189, 1259, 1331, 1405, 1481, 1559, 1639,1721,
1805, 1891, 1979, 2069, 2161, 2255, 2351, 2449, 2549, 2651, 2755, 2861, 2969, 3079, 3191, ......

3,四边形的最大面积 < n(n+1) < n(n+1)-1

5楼,我还不知道怎么下手：四边形的4边长度为3,4,5,6,  已知四边形的面积=18,  这样的四边形有多少个？

northwolves

王守恩 发表于 2023-4-23 18:27
四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2,   求证：四边形的最大面积 < n(n+1)。

1,四边形的4边长度为 n-1,  ...

四边形的4边长度为3,4,5,6,  已知四边形的面积=18,  这样的四边形有多少个？
-----------------------------
考虑到对称和反转，感觉有三个，相邻边分别为：6345，6354，6534
可以采用11楼链接里的四边形的面积公式二确定三个四边形的对角线夹角，分别为：arctan(4),arctan((2),arctan(1)

nyy

王守恩 发表于 2023-4-23 18:27
四边形的4边长度为 n-1, n, n+1, n+2,   求证：四边形的最大面积 < n(n+1)。

1,四边形的4边长度为 n-1,  ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. aaa=Permutations[{4,5,6}](*3,#1,#2,#3这样排列*)
   
5. (*计算3、#1、x三边的三角形面积+x、#2、#3三边的三角形面积*)
   
6. bbb=(heron[3,#1,x]+heron[x,#2,#3])&@@@aaa//Simplify
   
7. (*根据四边形面积=18,求出其中一条对角线的长度,3、#1对应的对角线x*)
   
8. ccc=Solve[#==18&&x>=0,{x}]&/@bbb
   

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用海伦公式，自己慢慢算吧
第一条边是3，剩下的三边依次是
{{4, 5, 6}, {4, 6, 5}, {5, 4, 6}, {5, 6, 4}, {6, 4, 5}, {6, 5, 4}}
求解出来的对角线长度
\[
\begin{array}{ll}
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\end{array}
\]
数值化
\[
\begin{array}{ll}
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\end{array}
\]
不超过6个，自己慢慢验算，我没耐心慢慢验算了。

nyy

nyy 发表于 2023-4-24 09:07
用海伦公式，自己慢慢算吧
第一条边是3，剩下的三边依次是
{{4, 5, 6}, {4, 6, 5}, {5, 4, 6}, {5, ...

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*穷举四边以及对角线*)
   
5. aaa={3,#[[1]],x,#[[2]],#[[3]]}&/@Permutations[{4,5,6}]
   
6. (*求四边形面积,以及两个三角形面积*)
   
7. bbb={heron[#1,#2,#3]+heron[#3,#4,#5],heron[#1,#2,#3],heron[#3,#4,#5]}&@@@aaa//Simplify
   
8. (*要求四边形面积=18,且对角线长度正数,且两个三角形面积非负*)
   
9. ccc=Solve[#[[1]]==18&&x>0&&#[[2]]>=0&&#[[3]]>=0,x]&/@bbb
   
10. Grid[ccc,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

{{3, 4, x, 5, 6}, {3, 4, x, 6, 5}, {3, 5, x, 4, 6}, {3, 5, x, 6,  4}, {3, 6, x, 4, 5}, {3, 6, x, 5, 4}}

求解结果
\[
\begin{array}{cc}
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\end{array}
\]

nyy

nyy 发表于 2023-4-24 09:35
{{3, 4, x, 5, 6}, {3, 4, x, 6, 5}, {3, 5, x, 4, 6}, {3, 5, x, 6,  4}, {3, 6, x, 4, 5}, {3, 6,  ...

这个没考虑凹四边形的情况！凹四边形的情况估计也可能存在解。

王守恩

nyy 发表于 2023-4-24 09:07
用海伦公式，自己慢慢算吧
第一条边是3，剩下的三边依次是
{{4, 5, 6}, {4, 6, 5}, {5, 4, 6}, {5, ...

这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),  每种可能2个解,共6个解。  a,b,c,d=4条边,    A,B,C,D=4个角。

\(\frac{a*b\sin(A)+c*d\sin(C)}{2*18}=\frac{b*c\sin(B)+d*a\sin(D)}{2*18}=\frac{a^2+b^2-2a*b\cos(A)}{c^2+d^2-2c*d\cos(C)}=\frac{b^2+c^2-2b*c\cos(B)}{d^2+a^2-2d*a\cos(D)}=1,A+B+C+D=360\)

nyy

王守恩 发表于 2023-4-24 10:16
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),  每种可能2个解,共6个解。  a,b,c,d=4条边,    A,B,C, ...

对于15楼的结果我解释一下：
{{3, 4, x, 5, 6}, {3, 4, x, 6, 5}, {3, 5, x, 4, 6}, {3, 5, x, 6,  4}, {3, 6, x, 4, 5}, {3, 6, x, 5, 4}}
取第一个结果{3, 4, x, 5, 6}
表示AB=3，BC=4，AC=x（求解出了两个解），CD=5，DA=6
此处x有两个结果,如下：
\[\left\{\{x\to 5\},\left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\}\right\}\]
你自己去验证一下。

nyy

王守恩 发表于 2023-4-24 10:16
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),  每种可能2个解,共6个解。  a,b,c,d=4条边,    A,B,C, ...

你这个人真操蛋！
只要已知一条对角线的长度（假设为x），那么根据海伦公式，
就能求解出两个三角形的面积，这样不就求解出了四边形的面积了吗？
两个三角形的面积相加等于18，然后解方程，得到x不就可以了吗？
你搞啥三角函数，对于软件来说，求解很困难的！

nyy

王守恩 发表于 2023-4-24 10:16
这样的四边形有6个。3种可能(3的对面只能是4,5,6),  每种可能2个解,共6个解。  a,b,c,d=4条边,    A,B,C, ...

进一步完善我的求解：
思路：
只要已知一条对角线的长度（假设为x），那么根据海伦公式，
就能求解出两个三角形的面积，两个三角形的面积相加等于四边形面积=18，然后求解方程（此处忽略凹四边形情况，已经求解过了，不存在凹四边形情况）

穷举所有情况：
{{3, 4, x, 5, 6}, {3, 4, x, 6, 5}, {3, 5, x, 4, 6}, {3, 5, x, 6, 4}, {3, 6, x, 4, 5}, {3, 6, x, 5, 4}}
其中
{3, 4, x, 5, 6}
表示AB=3，BC=4，AC=x，CD=5，DA=6

搞成矩阵形式
\[\begin{array}{lllll}
3 & 4 & x & 5 & 6 \\
3 & 4 & x & 6 & 5 \\
3 & 5 & x & 4 & 6 \\
3 & 5 & x & 6 & 4 \\
3 & 6 & x & 4 & 5 \\
3 & 6 & x & 5 & 4 \\
\end{array}\]


两个三角形的面积
\[\begin{array}{ll}
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+50 x^2-49} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+122 x^2-121} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+50 x^2-49} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+122 x^2-121} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+68 x^2-256} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+104 x^2-400} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+68 x^2-256} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+104 x^2-400} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+90 x^2-729} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+82 x^2-81} \\
\frac{1}{4} \sqrt{-x^4+90 x^2-729} & \frac{1}{4} \sqrt{-x^4+82 x^2-81} \\
\end{array}\]

求解结果
\[\begin{array}{ll}
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\{x\to 5\} & \left\{x\to \sqrt{\frac{221}{5}}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 10 \sqrt{\frac{5}{17}}\right\} & \left\{x\to 2 \sqrt{13}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\left\{x\to 9 \sqrt{\frac{5}{13}}\right\} & \left\{x\to \frac{9 \sqrt{17}}{5}\right\} \\
\end{array}\]

数值化
\[\begin{array}{ll}
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.\} & \{x\to 6.64831\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.42326\} & \{x\to 7.2111\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\{x\to 5.58156\} & \{x\to 7.42159\} \\
\end{array}\]



所有代码如下：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*穷举四边以及对角线*)
   
5. aaa={3,#[[1]],x,#[[2]],#[[3]]}&/@Permutations[{4,5,6}]
   
6. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
   
7. (*对于每一种情况,用海伦公式求出两个三角形面积*)
   
8. bbb={heron[#1,#2,#3],heron[#3,#4,#5]}&@@@aaa//Simplify
   
9. Grid[bbb,Alignment->Left](*列表显示*)
   
10. (*要求两三角形面积相加=四边形面积=18,且对角线长度正数,且两个三角形面积非负*)
    
11. ccc=Solve[(#[[1]]+#[[2]])==18&&x>0&&#[[1]]>=0&&#[[2]]>=0,x]&/@bbb
    
12. Grid[ccc,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码

优化后的代码（优化后的代码可读性更强）：

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*穷举四边以及对角线,每一个元素表示{AB,BC,AC=x,CD,DA}*)
   
5. aaa={3,#1,x,#2,#3}&@@@Permutations@{4,5,6}
   
6. (*对于每一种情况,用海伦公式△ABC、△ACD的面积*)
   
7. bbb={heron[#1,#2,#3],heron[#3,#4,#5]}&@@@aaa//Simplify
   
8. (*要求两三角形面积相加=四边形面积=18,且对角线长度正数,且两个三角形面积非负*)
   
9. ccc=Solve[(#1+#2)==18&&x>0&&#1>=0&&#2>=0,x]&@@@bbb
   
10. Grid[aaa,Alignment->Left](*列表显示*)
    
11. Grid[bbb,Alignment->Left](*列表显示*)
    
12. Grid[ccc,Alignment->Left](*列表显示*)
    

复制代码