他拿下这一局(11分制)的概率是多少

王守恩

转载:  乒乓球比赛，一名球员赢下每一球概率是3/5，
那么他拿下这一局(11分制)的概率是多少？要考虑每局至少赢两分的情况。

yigo

赢球概率为p，分为两部分计算，回合数小于等于20时，回合数大于等于20时，
  (1)回合：     11         12                          11+k(0<=k<=9)
赢的概率：    p^11    C(11,1)*p^11*(1-p)   C(10+k,k)*p^11*(1-p)^k,
  (2)回合：     22         ...                            22+2*j(0<=j<=无穷)
赢的概率：    C(20,10)*p^12*(1-p)^10        C(20,10)*p^12*(1-p)^10*(2*p*(1-p))^j,
求和既得，第二部分是无穷等比数列，和为C(20,10)*p^12*(1-p)^10*1/(1-2*p*(1-p))，第一部分不知道怎么求和，数值解是0.8364

yigo

m+1分制，得到一个恒等式：
\[ \sum_{k=0}^m C_{k + m}^k ((1 - p)^k p^{m + 1} + p^k (1 - p)^{m + 1}) = 1 \]

王守恩

谢谢 yigo！

\(\D\sum_{k=0}^9\frac{(k+10)!}{k!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^k\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{11}+\sum_{j=10}^{\infty}\frac{(10+10)!}{10!\ \ 10!}\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^j\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{j+2}2^{j-10}\)

\(=0.7553372033163932467200000+0.0810979965251931340800000=0.836435199841586380800000\)

\(=\frac{72034569102897}{95367431640625}+\frac{7734107639808}{95367431640625}=\frac{15953735348541}{19073486328125}\)

前半部分还真不知道怎么化简(虽然只有10项),后半部分肯定是可以化简的(因为有无穷项),

\(\D\bigg(\sum_{k=0}^9\frac{(k+10)!}{k!\ \ 10!}(\frac{2}{5})^k\bigg)*\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{11}+\frac{(10+10)!}{10!\ \ 10!}*\frac{(3/5)^2(3/5)^{10}(2/5)^{10}}{(3/5)^2+(2/5)^2}\)

如果把10换作1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,   可以得到这样一串数：

{9/13, 1161/1625, 29889/40625, 153333/203125, 19602081/25390625, 99969957/126953125,978304149/1220703125, 24845595021/30517578125, 126001649601/152587890625, 15953735348541/19073486328125}

XIAOWEN

假设该球员与对手的水平相当，每个球的胜率为3/5，则该球员赢得一局比赛的概率需要考虑两种情况：

1. 以11：10的比分获胜，此时该球员已经取得了11分，且领先对手1分。这种情况下，该球员需要在前20个球中赢得11分中的第10分，因此该概率为 (3/5)^10 * (2/5)^10 * 10。

2. 以12球或更高的比分获胜，此时该球员需要在前22个球中赢得至少11分，并且领先对手至少2分。这种情况下，我们可以遍历所有可能的情况来计算概率，但是这样计算非常繁琐。因此，我们可以使用递归的方式来简化问题。具体来说，我们可以将问题分解为两个子问题：首先，该球员赢得第一个球的概率为3/5；其次，如果该球员赢得了第一个球，则他获胜的概率为 P(11：n-1) + P(12：n-2) + ... + P(n-1：11)，其中P(a:b)表示在a和b之间打出一局比赛并且该球员获胜的概率。由于至少需要赢得两分才能获胜，因此这个子问题的最终结果必须乘以一个系数2/5。因此，我们可以得到以下递归式：

P(11:n) = (3/5) * (2/5) * (P(11:n-1) + P(12:n-2) + ... + P(n-1:11))

使用这个递归式和边界条件 P(11:11) = 1，我们可以计算出该球员赢得一局比赛的概率为约0.5849。

因此，该球员拿下一局比赛的概率是约为0.5849，即58.49%。

王守恩

谢谢 yigo！ (1)+(2)="1",   n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10：

(1),\(\displaystyle\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+n)!}{k!\ n!}(\frac{2}{5})^k+\frac{(2n)!}{n!\ n!}\frac{(3/5)^2(2/5)^{n}(3/5)^{n}}{(2/5)^2+(2/5)^2}\bigg)\bigg(\frac{3}{5}\bigg)^{n+1}\)
{9/13, 1161/1625, 29889/40625, 153333/203125, 19602081/25390625, 99969957/126953125,
978304149/1220703125, 24845595021/30517578125, 126001649601/152587890625, 15953735348541/19073486328125}

(2),\(\displaystyle\bigg(\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(k+n)!}{k!\ n!}(\frac{3}{5})^k+\frac{(2n)!}{n!\ n!}\frac{(2/5)^2(3/5)^{n}(2/5)^{n}}{(3/5)^2+(3/5)^2}\bigg)\bigg(\frac{2}{5}\bigg)^{n+1}\)
{4/13, 464/1625,  10736/40625,  49792/203125,  5788544/25390625,  26983168/126953125,
242398976/1220703125,  5671983104/30517578125,   26586241024/152587890625,  3119750979584/19073486328125}

l4m2

先打20個球。若比分達到或超過11:9就贏了，概率$\sum_{i=0}^{9}\text{C}_{20}^i 0.4^i 0.6^{20-i}=0.7553372033163932$
如果比分位i10:10，概率0.1171415505363901，則有36:16的概率贏（連勝兩場0.36，連敗兩場0.16，一勝一敗重來）
結果0.7553372033163932+0.1171415505363901*36/(36+16)=83.64351998415863%

王守恩

羽毛球比赛采用 21 分制，当双方均为 20 分时，领先对方 2 分的球员赢得比赛；
当双方均为 29 分时，先取得 30 分的球员赢得比赛；一名球员赢得每一球概率是3/5，那么他赢得比赛的概率是多少？

王守恩

王守恩 发表于 2023-5-21 05:19
羽毛球比赛采用 21 分制，当双方均为 20 分时，领先对方 2 分的球员赢得比赛；
当双方均为 29 分时，先取 ...

《数学中国论坛》luyuanhong 给出了这2道题(1楼,8楼)的通用解法，详见帖子
《每一回合胜的概率为 p，先得 11 分为赢，但 10：10 后连得 2 分才赢，求最后赢的概率》

l4m2

王守恩 发表于 2023-5-21 05:19
羽毛球比赛采用 21 分制，当双方均为 20 分时，领先对方 2 分的球员赢得比赛；
当双方均为 29 分时，先取 ...

#7做法減去29:29時的36:16，加上此時的6:4