关于素数的一个猜想

纸上谈兵

对任意素数`p>3`, 求证:\[\frac{p^p-(-1)^{\frac{p-1}2}}{p-(-1)^{\frac{p-1}2}}=\begin{cases}\D\frac{p^p-1}{p-1},\text{If }p≡1\pmod4\\\D\frac{p^p+1}{p+1},\text{If }p≡3\pmod4\end{cases}\]为合数
例如前几个小素数 ：
$(5^5-1)/4=11*71,$
$(7^7+1)/8=113*911，$
$(11 ^11+1)/12=23*89*199*58367，$
$(13 ^13-1)/12=53*264031*1803647，$
$(17 ^17-1)/16=10949*1749233*2699538733，$
$(19 ^19+1)/20=108301*1049219*870542161121，$
$(23 ^23+1)/24=47*139*1019*1641281*52626071*1522029233，$
$(29 ^29-1)/28=59*16763*84449*2428577*14111459*58320973*549334763,$
$(31 ^31+1)/32=373*1613*62869*145577*35789156484227*2706690202468649,$
$(37 ^37-1)/36=149*1999*7993*16651*17317*10192715656759*41903425553544839998158239,$
$(41 ^41-1)/40=83*1752341*20567159*1876859311090803007*5926187589691497537793497756719$
有条件的高手请接着验证验

aimisiyou

先把表达式写正确。

northwolves

1. Select[Table[(p^p + Mod[p, 4] - 2)/Round[p, 4], {p, Prime@Range[3, 800]}], PrimeQ]

复制代码

northwolves

5<=p<=6133 时，计算结果均为合数

A056826                Primes p such that (p^p + 1)/(p + 1) is a prime.  3, 5, 17, 157 Next term > 3000.

A088790                Numbers k such that (k^k-1)/(k-1) is prime. 2, 3, 19, 31, 7547 the next k should be between 10^10 and 10^11.

nyy

northwolves 发表于 2023-5-28 12:40

反正猜想不要钱！
自己天天没事猜想，
然后让别人去检查自己的猜想是否正确，
让别人去证明自己的猜想！

nyy

northwolves 发表于 2023-5-28 12:40

自从有了论坛，民科就是难以避免的了！

aimisiyou

要是能得到一个较大的素数，可能更有意义。

纸上谈兵

谢谢版主的验证   你都能验证到6133太厉害了   我已经证明出来了