旋转球面的数学期望

majer

自动喷漆器会精确地喷涂球的 1/2表面。

现在，每次喷涂之后，球体会被随机地旋转一个方向（球心不动，在空间中旋转）。然后继续喷漆。

问：将整个球表完整涂上颜料，平均需要喷涂多少次。

northwolves

旋转多少度？

yuange1975

有喜欢数学的可以去我的知识星球《袁哥的技术天地》


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下面的问题是今天讨论度蛮高的（指某些数学geek社区）。

自动喷漆器会精确地喷涂球的 1/2表面。

现在，每次喷涂之后，球体会被随机地旋转一个方向（球心不动，在空间中旋转）。然后继续喷漆。

问：将整个球表完整涂上颜料，平均需要喷涂多少次。

都是一些遇到过的解过的问题。

这个喷涂表面1/2有问题吧，这个1/2的方式是什么？半球还是什么图形？如果比较均匀的分布整个球的1/2的表面的方式，就好像是可能永远喷不满。  

如果每次喷涂是一个半球，这个问题就是那个鸭子共半圆的高纬度问题的推广的变形问题。  
球体表面随机n个点处于半球内的概率是p=(n^2-n+2)/2^n。

如果是每次喷涂都是半球，半球的中心就是随机的点，如果有所有点都不能落在半球内，就是喷满。  

所以n次喷满的概率是P(N)=1-(n^2-n+2)/2^n
所以第n次刚好喷满的概率是：
f(n)=P(n)-P(n-1)=1-(n^2-n+2)/2^n-(1-((n-1)^2-(n-1)+2))/2^(n-1))
=(n^2-5n+6)/2^n

注意这个因为P(0)的值不对，所以f(1)也不对需要修正一下。显然本身f(1)=0，但是这个公式f(1)=1。除了f(1)，n>=1的整数其它都对。

所以喷满的次数期望值就是:  

N=-1+∑n*f(n)
=-1+∑(n^3-5n^2+6n)/2^n
=-1+26-5*6+6*2
=7

这个级数求和刚好以前也做过，比较容易。

3 1 0
4 7/8 1/8 4 1/8
5 11/16 5/16 5 3/16
6 1/2。  1/2 6 3/16

yuange1975

请问那个社区有这个问题的讨论？只找到这里这个问题也没人讨论。

lihpb00

每次旋转角度随机的意思？