抓住问题本质，巧解鸭子问题

yuange1975

数学 #概率


抓住问题本质，巧解鸭子概率问题。

这段时间出来一个圆池鸭子共半圆问题，做了n维球体的推广，映射到球体表面积后降维，定原点后去掉了圆周的环绕问题，很容易的通解解决了问题。

m维度球里体积均匀分布的n个随机点，都在不定的某个半球里的概率p(m,n)=?
p(m,n)
=s(m-1,n-1)/2^(n-1)
=1/2^(n-1) ΣC(n-1，k) ，k从0到m-1求和。
C(n,k)=n!/((n-k)!k!)，组合公式，其中特别的：
C(n,0)=1，
k>n,C(n,k)=0。


圆内面积均匀分布的随机n个点，处于不定的某个q*2π扇形内概率p(n,q)=?

再次做半圆的圆弧幅度的推广通解，做了几次包括用概率分布算积分都出错了，主要是发现再次遇到了圆周环绕问题这里太复杂容易出错。幅度扩大了后取原点已经去不掉圆周环绕，这个方法本身只是对半圆弧以内的幅度有效。

前几天一个晚上睡觉中迷糊一直在思考这个问题，不动用笔睡觉中把这个问题本质想清楚了。直接本质清楚了有了新的模型去掉了环绕问题，大脑把几何模型想清楚了，模型算是解决了，低纬度计算也没问题。但是后面由于高纬度的几何空间太难想象，通用的通解在高纬度计算遇到了问题，这个想了好几天才想清楚解决了。

其实对于任意幅度圆弧，我们定原点是非常错误的根本没有抓住问题本质，这个办法只对于半圆弧以内幅度有效。

圆周里n个点问题本质是什么？怎么去掉圆的环绕问题？
思考这个问题，发现其实这个问题转成代数非常简单，用n个点的相邻距离来描述这n个点就行就是圆心角，这个就是均匀分布的。这才是其代数本质，没有了几何的圆周了。

直接用概率单位计量，就是：
∑ ai=1,0<=ai<=1。

现在看这ai，把每个ai看成一个维度，我们再升级维度，这就是一个n维单位正方体的对角切面，因为后面还要切这个面，所以这个面后面统一叫对角面，和别的切面区分开。对角面就是边长2^0.5的n个顶点的n-1维图形。

再看处于q*2π圆弧内的条件是怎么？在圆弧内就是除了所有ai<1-q的，都满足。现在问题变得非常简单，就是n维的单位正方体的每条边垂直面从1-q那里切下来，切掉的每维度上面边的边长为q。或者简单的把每维度反过来计量，原点标记1，顶点标记0，这么切的时候就是丛q处长度q下来。

这概率又是什么？概率就是那个n维度的正方体的对角面，被切下来的面积占比。对角面的每维度的边长为2^0.5，切掉的对角面的每维度的边长是q*2^0.5。这样可以等比例的简单的把对角面的边长记为1，每次是从对角面边q处平行底面切长度q下来。



正n维度正方体原点不在对角面上，如果把对角面放平到水平面，原点就是最高的点。

是不是很简单的就没有了圆的问题了？
我们来看如果q<=1/2，那么就是n维正方体的对角面，在每个方向的顶点切下来一个角。这个n维度小正方体边长边长为q，体积q^n，对角面被切下来的一个角面积和对角面的面积比是n-1维就是q^(n-1)。n个方向的角切下来的对角面面积和与对角面之比就是n*q^(n-1)，这是是所求的概率。
有了这几何模型，这时候非常的简单。

切到q=(1-1/n)的时候，切到对角面的中心点了，每个面都切完了，这时候p=1，q再增加也一样了。

从q=0一直切下去，这个多维的对角面，要想清楚切的情况以及计算，确实是有点难度。
几何空间的高纬度推广，我们太难跳出三维几何空间去想象了，还是代数空间维度推广比较容易想象和理解一些。好在经过了很多天的反复计算和推敲，终于想明白了。

n=2时，2维空间，对角面是正方形的对角线，一段直线。
n=3时，3维空间，对角面是立方体的一个切面，如图4的红色正三角形。图3的正三角形，每个顶点平行底面（这时是边）切。
n=4时，4维空间，对角面是3维，对角面是正四面体的三棱锥，切是平行于底面切。

n=5时，5维空间，对角面画不出图了，只能自己想象了。可以想象成三棱锥再在第4维度空间里增加一个点，这个点和三棱锥的每三个点又组成一个三棱锥。
这时候的底面是正四面体的三棱锥，这正四面体的三棱锥是4维度空间里的一个平面。切每个顶点都平行这个底面切。

n个顶点，每个顶点对应一个底面，底面由n-1个顶点组成的n-2维度的“正三棱锥”。


图3是3个点的对角面切到q=1/2的情形，4个点的三棱锥也可以想象或者拿个三棱锥魔方来研究。

其实切到1/2再切下去，一直到1-1/3的时候重复了一块，把这块补上就行，这块边长就是2*(q-1/2)，有c(n,1)块。到1-1/3的时候到了一个面的中心，再下去又补偿得多了，这时候边长3*(q-2/3)，有c(n,3)块，…。

所以有：

p(n,q)=1.   q>=1-1/n
其它时候
p(n,q)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*(q-(k-1)/k))^(n-1)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*q-(k-1))^(n-1)

N=min(n-1,int(1/(1-q)))，k从1到N求和，int取整
就是最多切到1-1/(n-1)中心，k取n-1，以及后面一直加到kq-(k-1)=1-k(1-q)需要大于等于0，小于0就停止，说明还没有切到那里去。


事后点评：
这个斜的n-1维体，几何空间想象比较难，要去切更难，想了好几天脑袋都想疼了。现在回过来想非常简单了，特别的后面那两个奇妙的公式，其实就是n维的正方体的切割公式。这个其实是n-1维正方体的拓扑变形，比如图三和正方形，正方形2*2，原点那一块就是图2中的中心那一块。同样正四面体也是正方体的拓扑变形，正方体的三个维度的绕着原点变形把原点包围在最中间。

斜的n-1维度三棱锥就是n-1维度的正方体每个维度都向原点方向变形，最后吧原点包围在了中间。
特别注意是每增加一个维度，就这么多包裹了一层。

这么拓扑变形考虑清楚了，斜的拓扑变形变回到n-1维正方体，切就简单了。上面这个公式也简单了。


我们来看看n=2,3,4,5，q=1-1/n的情况:

2*1/2

3*(2/3)^2-3*(1/3)^2

4*(3/4)^3-6*(2/4)^3+4(1/4)^4

5*(4/5)^4-10*(3/5)^4+10*(2/5)^4-5*(1/5)^4

这些都等于1，也发现一个奇妙的等式：
n^(n-1)= Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k)^(n-1)
k从1到n-1求和。

还有q=1-1/(n-1)的时候，最后切剩下一个边长为1/n的正棱锥。
这时候有：
(n-1)^(n-1)= 1+Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k-1)^(n-1)
k从1到n-2求和。

或者写成：
n^n=1+Σ(-1)^(k+1)*c(n+1,k)*(n-k)^n
k从1到n-1求和。
n^(n-1)= Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(n-k)^(n-1)
k从1到n-1求和，n>=2。

1^0=1
1^1=1

2^1=2*1
2^2=1+3*1^2

3^2=3*2^2-3*1^2
3^3=1+4*2^3-6*1^3

4^3=4*3^3-6*2^3+4*1^3
4^4=1+5*3^4-10*2^4+10*1^4


后记：

这题更一般性的推广问题难度难在有两个地方，一个是环绕问题，一个是重叠问题，两个套在一起就很难想清楚了。
特殊的小于等于半圆就没有重叠问题，大大简化了，再定原点就没了环绕问题就很容易解决了。

这几何思路，其实是等于把空间做了个一一映射的拓扑变形，去掉了环绕问题。不过这么拓扑变形处理很容易导致概率密度分布发生变化，一般还是概率密度函数多重积分最靠谱，不过积分上下限有时候不好处理，还有比如多维球里面，有可能积分函数也不是太好积分了。

重叠问题，可以靠广义的容斥原理解决。





发现一牛人，差不多同思路的代数积分解法：

https://spaces.ac.cn/archives/9324

介绍了2个推广，一个是多维度的半球推广，一个是任意圆弧弧度推广。多维度半球推广，这个我也解出来了，前面有文章写了，这个还算比较简单。
圆弧弧度推广，我开始也想用严密的多重代数积分来算，其实就是他这思路，不过里面稍微有点问题没有想明白。
后来换成几何解法，其实都是这思路的几何解释。


他的解法用代数多重积分非常严密，理解积分的是非常好的解题方法，不过不理解积分的不好理解。
我的是几何法，由于涉及高纬度的几何空间，画图、表述有些不太严密，很多要靠思维去想象，不过想明白后会比积分简单太多，属于直接的结果。
其实两个属于同一思路的代数、几何解法。看过程、最终结果表示其实有惊人的相似。不过几何也有几何的好处，对于思维和空间想象能力有了不错的锻炼，就是开始有点太烧脑子。还有空间拓扑的思维等等。

其实我一直是比较喜欢代数的，代数相对几何也更强，大多时候遇到几何问题都用代数解决，简单有效。这次反其道而行之，也算有不错的收获。

有了几何出来的结果，反过来我还把结果推广了几个有趣的代数多项式等式出来。



其实还有最后一个推广，m维度球里体积均匀分布的随机n个点，处于同一q(0<=q<=1)个“弧度球”里的概率p(m,n,q)=?

我们已经算出来p(2,n,q)和p(m,n,1/2)或者说q<=1/2的表达式。

这是我目前找到的唯一一个算是和我一样这题做得最好的。

https://zhuanlan.zhihu.com/p/103009862?utm_id=0

另外一个牛人、也做了m维度的推广后的半球结果，不过也和1962年的那论文差不多，只是后面那多项式他是用的空间划分。这个我前面有奇妙的数学旅行里有介绍，其实这个问题最后和空间划分原来是一个问题。

另外一人，其实有一点我这思路，但是他没完全想明白以及没有做圆弧推广。还有他另外的一篇文章还半圆都算错了。不过他的图可以有助于去理解我的几何解法。

https://user.guancha.cn/wap/content?id=871025&s=fwzwyzzwzbt

另外有名的李永乐老师也做了圆弧推广，但是没有解出来。这个推广如果没有想清楚的话，确实如他所说，太复杂。想清楚了就太简单了。

https://m.weibo.cn/3325704142/4827450234639443



几何越研究越有味道呀。
之前是感觉到那个几何题包裹的是n层，一层层对称的，倒是没有仔细多想。

所以有：

p(n,q)=1.   q>=1-1/n
其它时候
p(n,q)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*(q-(k-1)/k))^(n-1)
=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*q-(k-1))^(n-1)

N=min(n-1,ceil(1/(1-q)))，k从1到N求和，ceil向上取整。
就是最多切到1-1/(n-1)中心，k取n-1，以及后面一直加到kq-(k-1)=1-k(1-q)需要大于等于0，小于0就停止，说明还没有切到那里去。

之前一直都想着切到q=1-1/n的时候就切完了，不再切下去，其实这个公式对1-1/n到1的范围一样适用呀，并且这时候等于p=1，说明这个时候是恒等于1，也就是：

Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)(k*q-(k-1))^(n-1)=1
k从1到n求和，这个等式是恒成立的。

这样有什么好处呢？两个等式相减，可以抵消一些项。真正求的时候可以两边求，看哪边项数少就算哪边。


所以最终有：
p(n,q)=Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(1-k*(1-q))^(n-1)
k从1到n，保证1-k(1-q)>=0

或者
p(n,q)=1-Σ(-1)^(k+1)*c(n,k)*(1-k*(1-q))^(n-1)
k从1到n，保证1-k(1-q)<0

看哪个项少就用哪个。