求兔子窝的最大安全距离

uk702

问题1：一只狗发现正北方100米处有一个兔子，兔子也同时发现狗了，于是以9米每秒的速度向正东方向跑，狗则紧盯着兔子以10米每秒的速度追，问多久才追上？以及狗的运动轨迹。
（粗略计算，狗大约52.6秒追上）

问题2:
一只狗发现正北方100米处有一个兔子，兔子也同时发现狗了，于是以9米每秒的速度朝兔子窝奔跑。
1）若兔子窝碰巧安在兔子的正北方，且距离兔子的位置为 x，显然，t 秒后，兔子和狗的距离为 100 + 9t - 10t ，
因此，当 t < 100 时，狗无法撵上兔子，也就是说，只要这时的兔子窝距离兔子的距离 < 100 ×  9米/秒 = 900米，兔子可平安归窝。

2）若兔子窝碰巧安在兔子的正东方，且距离兔子的位置为 x，于是兔子撒腿就往东方跑，而狗极其聪明（以至于它能提前预估兔子跑位），
于是 t 秒之后，兔子的坐标为 (9t, 100)，而这个坐标恰好距离狗初始位置为 10t（这使得狗在 t 秒刚好能追上），
如图所示，这时有 \( 100^2 + (9t)^2 = (10t)^2 \)，解得 \( t = \dfrac{100}{\sqrt{19}} \) ≈ 22.94 秒，
因此，若这时兔子窝离兔子的距离不超过 22.94 ×  9米/秒 = 206.47 米，兔子总能平安归窝。

若兔子窝碰巧安在兔子的正东方，且距离兔子的位置为 x > 206.47 米，假如狗绝对聪明，由于它总能先于兔子跑到兔子窝前守株待兔，因此这种情况下，无论兔子采取何种跑动策略，（只要归窝）都难免招狗的毒手。

3）如果兔子分别在正东方和正西方各安一个窝（狡兔双窟），且距离兔子的位置均为 x，若免和狗都绝对聪明，都知道任何时刻对方的位置，求 x 的最大值，使得狗无论采取何种跑动策略，兔子总能安全归窝。

比如，即兔子先往东方跑，但一旦发现狗“超跑”，即向反方向跑（或其它策略），这时是否只要 x < 52.6 * 9米/秒 = 473.4 米（参照问题1），兔子总能平安归窝？


问题3:
假设只要狗出现在兔子的 100 米的范围内的任何地点，兔子总能在第一时间发现并往兔子窝跑，
1）如果只有一个兔子窝，显然最坏的情况下，兔子窝恰好位于兔子与狗之间，这时，只要兔子的活动距离不超过 \( 9 × \dfrac{100}{19} \）= 47.3684 米，兔子应该都能安全归窝。

2） 两个兔子窝的情况下，假设这两个兔子窝之间的距离是 x，求兔子的安全活动地图；三个兔子窝的情况下，兔子应该如何布置这三个兔子窝，使得在任何情况下，它的最大安全活动距离（最大安全活动距离=离最近的一个兔子窝的距离的最大值）最大？

uk702

对于问题3，三个兔子窝的情况下，一个合理的想定是兔子将三个窝按等边三角形的方式进行布置。似乎这个 “最大安全活动距离”  与兔子的活动方式有关，比如说，若兔子只在这个等边三角形的内部活动，它的  “最大安全活动距离” 是否比兔子时不时跑到等边三角之外活动要大一些？

所以这个问题，可能要细分为：
1. 若兔子只在等边三角形的内部活动，这个等边三角形边长的最大值是多少？
2. 若兔子时不时跑到等边三角之外活动，它的最大安全活动区域的面积是多少？

倪举鹏

知乎有个猫在圆形泳池边只在圆周跑，老鼠在圆中心，圆上都是老鼠洞，老鼠到圆周就逃生成功的问题

uk702

倪举鹏 发表于 2023-6-8 08:42
知乎有个猫在圆形泳池边只在圆周跑，老鼠在圆中心，圆上都是老鼠洞，老鼠到圆周就逃生成功的问题

非常感谢！看了 https://zhuanlan.zhihu.com/p/80701068 的解答，我决定认怂不再继续讨论这个问题。

wayne

https://mathworld.wolfram.com/PursuitCurve.html
第一题，我计算的是 52.791022825173177304秒。
首先可以得到两个方程$v_1 t -x =-\frac{y}{tan\theta}= y \frac{dx}{dy} $ ,$v_2 dt = ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}$,然后消去$t$，得到一个微分方程

1. f=NDSolveValue[{1/Sqrt[1+y'[x]^2] (1+D[y[x]/y'[x], x])==9/10,y[0]==-100,y'[0]==10^10},y,{x,0,100}];
   
2. FindRoot[f[x]==0,{x,10},WorkingPrecision->20]

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倪举鹏

如果兔子分别在正东方和正西方各安一个窝（狡兔双窟），且距离兔子的位置均为 x，若免和狗都绝对聪明，都知道任何时刻对方的位置，求 x 的最大值，使得狗无论采取何种跑动策略，兔子总能安全归窝。

这问题它们还都是跑直线到窝，都调头兔子吃亏

wayne

第一题，记$h=-100,v_1=9,v_2=10$,得到解析解 $t = \frac{h v_2}{v_1^2-v_2^2} = \frac{1000}{19} = 52.631578947368421053$，
轨迹的参数方程是 $x(\theta) =\frac{h k \tan ^k(\frac{\theta }{2}) (\csc (\theta )+k \cot (\theta ))}{k^2-1}-\frac{h k}{k^2-1} ,   y(\theta) = h \tan ^k\left(\frac{\theta }{2}\right)$

1. Block[{h=-100,k=10/9},ParametricPlot[{-((h k)/(-1+k^2))+(h k (k Cot[\[Theta]]+Csc[\[Theta]]) Tan[\[Theta]/2]^k)/(-1+k^2),h Tan[\[Theta]/2]^k},{\[Theta],Pi/2,0},AxesOrigin->{0,0},AspectRatio->Automatic]]

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uk702

wayne 发表于 2023-6-8 18:30
第一题，记$h=-100,v_1=9,v_2=10$,得到解析解 $t = \frac{h v_2}{v_1^2-v_2^2} = \frac{1000}{19} = 52.631 ...

k=10/9, y=-100 (tan(θ/2))^(10/9)，这个幂指感觉挺唐突的，求推导过程。

而 \( t=\dfrac{hv_2}{{v_1}^2-{v_2}^2} = \dfrac{1000}{19} \) 的最终结果也很震撼，不知是否有初等的解法？

题目一来自我的微信群，其中的出题人指出这是一道中学物理竞赛题，虽然他不知道答案但他相信有初等的方法。

wayne

根据切线公式，得到$v_1 t =x-\frac{y}{tan(\theta)}$ ，然后两边做关于t的求导，得到$v_1 = \frac{y}{sin^2\theta}\frac{d\theta}{dt}= \frac{y}{sin^2\theta}\frac{d\theta}{dy}\frac{ds sin\theta}{dt}= \frac{y}{sin\theta}\frac{d\theta}{dy}v_2$ ，分离变量，带入初始值，得到$y = h \tan ^(\frac{v_2}{v_1})(\frac{\theta }{2})$,继续回代，求得$x$，代入上面的切线公式，取极限即可，略。

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我印象中 此题确实是高中物理竞赛题，但是原题好像只是让求 初始时刻的加速度，并没有让求 追上的时间，甚至求轨迹

uk702

wayne 发表于 2023-6-8 22:36
根据切线公式，得到$v_1 t =x-\frac{y}{tan(\theta)}$ ，然后两边做关于t的求导，得到$v_1 = \frac{y}{sin^ ...

多谢，我是用  Geogebra 模拟得到估值 52.68，故实际值应该和它接近并略小于这个值。