曲线上的格点

njzzyy

求曲线3y^2=4x^3-1上的格点个数，且，| x|≠| y|。谢谢！

njzzyy

谢谢mathe老师的意见！

nyy

方程两边都乘以2，
得到
2*3*y^2=(2*x)^3-2
化成椭圆曲线方程。

njzzyy

谢谢 luyuanhong老师的格点解：
x =    1 , y =    1
x =   13 , y =   15
x =  181 , y =  209
x = 2521 , y = 2911

发表于 2023-6-21 08:59

njzzyy

从卢教授给的数据看到，该曲线要穿过格点不容易，数据太少了，无法猜想是有限个格点，还是无限格点

王守恩

njzzyy 发表于 2023-6-24 15:20
谢谢 luyuanhong老师的格点解：
x =    1 , y =    1
x =   13 , y =   15

主帖(只有唯一解"1")不是这2串数, 这2串数好像是这样的(要不再多给几个,规律就出来了)。

LinearRecurrence[{14, -1}, {1, 13}, 14]         181=14*13-1, 2521=14*181-13, 35113=14*2521-181, ......
{1, 13, 181, 2521, 35113, 489061, 6811741, 94875313, 1321442641, 18405321661, 256353060613, 3570537526921, 49731172316281, 692665874901013,

LinearRecurrence[{14, -1}, {1, 15}, 14]         209=14*15-1, 2911=14*209-15, 40545=14*2911-209, ......
{1, 15, 209, 2911, 40545, 564719, 7865521, 109552575, 1525870529, 21252634831, 296011017105, 4122901604639, 57424611447841, 799821658665135,

Table[FromContinuedFraction[ContinuedFraction[Sqrt[3]/2, 2 n]], {n, 1, 10}]
{1, 13/15, 181/209, 2521/2911, 35113/40545, 489061/564719, 6811741/7865521, 94875313/109552575, 1321442641/1525870529, 18405321661/21252634831,

nyy

https://bbs.emath.ac.cn/forum.ph ... 7&fromuid=14149

谁能找到英文维基百科上的休厄定理

根据这个定理，椭圆曲线只有有限的整数解！

njzzyy

https://wenku.baidu.com/view/427 ... 4%E5%AE%9A%E7%90%86

nyy

这类题目，直接用穷举法吧，找个较大的范围，然后穷举！

nyy

njzzyy 发表于 2023-6-24 15:20
谢谢 luyuanhong老师的格点解：
x =    1 , y =    1
x =   13 , y =   15

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aaa=Range[-20000,20000];(*x的变量范围*)
   
3. bbb=Select[aaa,IntegerQ@Sqrt[(4*#^3-1)/3]&](*找出y也是整数的x*)
   

复制代码

x的自变量，从-20000到2w，穷举后，只得到x=1这个存在整数解！