如何证明：四边的平方和等于对角线的平方和的四边形是平行四边形？

nyy

平行四边形性质定理：平行四边形四边的平方和等于对角线的平方和。
平行四边形判定定理：四边的平方和等于对角线的平方和的四边形是平行四边形。

显然，判定定理是性质定理的逆命题，请问如何证明这个逆命题。

hujunhua

判定定理可以由性质定理来证明。
首先，平行四边形性质定理可以转化为三角形中线定理：
【三角形中线定理】设三角形ABC的BC边上的中线为AD，则`2AB^2+2AC^2=BC^2+4AD^2`
如图，对于一个一般四边形ABCD，分别取其对角线AC、BD的中点E、F，由【三角形中线定理】得
$BC^2+CD^2=1/2BD^2+2CF^2$
$AB^2+DA^2=1/2BD^2+2AF^2$
$2AF^2+2CF^2=AC^2+4EF^2$
然后，三式相加，左右同时消去`2AF^2+2CF^2`便得到一般四边形的性质定理：
$AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2+4EF^2$
所以，如果一个一般四边形的 $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2$，
那么必有`4EF^2=0`，即两对角线中点重合，故必为平行四边形。
于是最后得到了判定定理。

lihpb00

可以用余弦定理

nyy

不知道解析几何的办法是否能证明！复数的办法能否证明呢？

hujunhua

解析几何和复数表示系统中对于平行四边形的这个性质定理和判定定理有更简明的、接近于定义的表达式，很容易转化为四平方和表示。

在解析几何中，我们就以P代表点P所在的坐标对，
在复平面上，我们就以P表示点P所对应的复数，

那么：凸四边形ABCD构成平行四边形当且仅当A+C=B+D。

大漠孤烟

空间4点：(A-B)^2+(B-C)^2+(C-D)^2+(D-A)^2=(A-C)^2+(B-D)^2+(A+C-B-D)^2

nyy

大漠孤烟 发表于 2023-7-3 23:37
空间4点：(A-B)^2+(B-C)^2+(C-D)^2+(D-A)^2=(A-C)^2+(B-D)^2+(A+C-B-D)^2

四个点看成四个向量，看成复数似乎不行，我用mathematica验证了一下，你的等式是成立的！

大漠孤烟

如果是平面4点，把等式中平方改成共轭乘积，也是恒成立的。