如何证明方程组x + 1/y == z, y + 1/z == x, z + 1/x == y无解？

nyy

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. ans=Solve[{x+1/y==z,y+1/z==x,z+1/x==y},{x,y,z}]
   

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我只会用mathematica算，结果显示无解！
那么如何人肉证明呢？

nyy

我来用mathematica证明一下：
第一个方程与第二个方程联合消元，消掉x，得到
\[y^2+y \left(\frac{1}{z}-z\right)=-1\land z\neq 0\]

第二个方程与第三个方程联合消元，消掉x，得到
\[y^2+y \left(\frac{1}{z}-z\right)=2\land z\neq 0\]

从这两个方程，很容易看出矛盾！

参考代码

1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. aaa=Eliminate[{x+1/y==z,y+1/z==x},{x}]
   
3. bbb=Eliminate[{y+1/z==x,z+1/x==y},{x}]
   

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这是我的软件证明过程，
但是我需要人工过程，那么应该如何搞呢？

白新岭

x + 1/y == z, y + 1/z == x, z + 1/x == y无解
两个等号啥意思？
如果是x + 1/y = z, y + 1/z = x, z + 1/x = y
可以先消分母，在移项
xy+1=zy，yz+1=xz，zx+1=yx
1=zy-xy，1=xz-yz,1=yx-zx
相加，得出3=0的矛盾结果，所以，无论x，y，z是什么，三式不可能同时成立。去掉一个方程就没问题了
xz-xy=2，进而推出x（z-y）=2，x与（z-y）构成反比例曲线。

nyy

白新岭 发表于 2023-7-3 15:11
x + 1/y == z, y + 1/z == x, z + 1/x == y无解
两个等号啥意思？
如果是x + 1/y = z, y + 1/z = x, z +  ...

两个等号就是C语言上的逻辑等的意思，也就是一个等号的意思，但是编程语言上一个等号表示赋值，所以就用两个等号！