a/b=c问怎么确定这个循环小数c的循环节长度?

worldbankc

一个数除以另一个数,得到一个商. 这个商可能是个循环小数除不尽. a/b=c问怎么确定这个循环小数c的循环节长度?

  例如?  a/b=c,  假设 a=125456, b=23654845742315 , 求c, 已知c肯定是个循环小数?  但不知道c的循环节长度,  怎么根据 a,b的关系知道c的循环节大小呢?  有没有什么简单办法来计算知道循环节大小? 我编程寻找循环节长度,往往循环节都长达一万亿位以上,绝大部分程序都难以寻找.

gxqcn

既然是提问，就不要把主题设成收费的（我已经把收费解除了）。

gxqcn

关于这个问题，本论坛早有研究，见下：

• http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... hlight=%D1%AD%BB%B7
• http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... hlight=%D1%AD%BB%B7
• http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... hlight=%D1%AD%BB%B7
  

还有，我专门开发了分数转小数快速计算器，可以迅速计算出任意分子分母均小于2^32的分数转化成小数时的循环节长度，并可快速精确输出出来，你可以去参考一下，它集成在HugeCalc套装软件中，下载请点击这里。

gxqcn

如果仅仅a/b计算循环节长度，流程如下：

• 将a/b简化成最简分数；
• 将分母中含有2或5的因子剔除；
• 计算分母关于10的“指数”，可以先计算出分母的欧拉函数，然后试除其因子，计算出使其关于10的模幂等于1的最小指数即为所求。可参见：Multiplicative Order

worldbankc

   你们这个论坛弄的不是很好, 发贴点出一个小窗口后(在小窗口里发不了贴),  必须要点大窗口才能发的上来.   而且里面的很多设置繁琐.  有些都是无效的失灵的.  实际上我就根本没点收费,我都不知道收费是怎么出来的


下面是一个网友发表的回复:

首先a/b要约分成互质，为m/n，那么m/n与1/n循环节一样。
把n中的2和5的因式全部去掉，这样不影响循环节长度，剩下的因式记为n1。
根据循环小数化为分数的方法，分母必然是99…9（k个9）=10^k-1，并且n1必然整除10^k-1，这样问题就转化为求满足10^k≡1 (mod n1)的最小正整数k。


首先要说欧拉函数φ(n)：欧拉函数是一个定义在正整数上的函数，φ(n)的值等于以下这些整数0、1、2、…、n-1与n互素的数的个数。
由定义知，φ(1)=1，φ(2)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，……，当p是素数时，φ(p)=p-1。
欧拉函数的计算方法：设n的标准分解式子是p1^k1·p2^k2·…·pm^km，其中p1、p2、…、pm是互不相等的素数，k1、k2、…、km都是正整数，则φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pm)。
例如φ(10)=10×(1-1/2)×(1-1/5)=4。
欧拉定理：设a、m为整数，m>1，(a,m)=1，则a^φ(m)≡1 (mod m)。
整数的次数：a、m为整数，m>1，(a,m)=1，k是使a^k≡1 (mod m)成立的最小正整数，则k叫做a对模m的次数。
次数定理：设a对模m的次数为k，n是满足a^n≡1 (mod m)的正整数，则k|n。
欧拉函数的计算方法、欧拉定理的证明、次数定理的证明可以找初等数论的书，这里就不发上来了。

由欧拉定理可以得到求1/n循环节长度的方法。
举个简单的例子。
例如n=11，则φ(11)=10，根据欧拉定理10^10≡1 (mod 11)，所以循环节长度一定是10的正约数。而10的正约数有1、2、5、10，从小到大逐一检验，得到10^2≡1 (mod 11)，所以1/11的循环节长度就是2。


假设a、n是大于1的正整数，p是素数，则a对模p的次数没有什么好办法去求，只能用上面的方法。
其它情形有下面两个定理：
假设a、n是大于1的正整数，n的标准分解式是p1^k1·p2^k2·…·pt^kt，其中p1、p2、…、pt是互不相等的素数，k1、k2、…、kt都是正整数，a对模pi^ki的次数为mi，则a对模n的次数为m1、m2、…、mt的最小公倍数。
如果a、n是大于1的正整数，p是素数，k是正整数，a对模p^k的次数是m，则a对模p^(k+1)的次数是m或pm。
这两个定理也可以从初等数论里找到证明，我也不发上来了。

再举一个例子
539=7^2×11
10对模7的次数为6，那么10对模7^2的次数或者是6或者是42，经计算验证得10对模7^2的次数是42。
10对模11的次数为2。
所以10对模539的次数为2和42的最小公倍数，即42，所以1/539的循环节长度为42。

《数论导引》里的差不多就是这些内容了，到现在为止求循环节长度的解法已经全部发上来了。


下面是另一个网友发表的回复:

我将做大胆的猜想(需证明)：

1，两个整数相除，结果一定是循环小数。 (只是有些循环节更大些)
2，循环节大小跟被除数无关。
3，循环节大小跟除数成决定性关系。
4，如果被除数为1，那循环小数为“纯循环数”；如果如果被除数>1，那循环小数可能为“非纯循环数”。
5，除数的最大素数越大，往往循环节越大。


关于@3的关系：（我很多概念忘记了，叫不上名，用实际数字说明）
Ex: 153 = 17 * 3 * 3；
我们现说“153”由两个素数组成： 17，3。

那么 循环节大小 受17主要影响，受3次要影响。

被除数：1；  除数：如下：
------------------------------------------------------
2,  除尽
3,  0.33333333333333333333333333333333
5,  除尽
7,  0.14285714285714285714285714285714
11, 0.090909090909090909090909090909091
13, 0.076923076923076923076923076923077
17, 0.058823529411764705882352941176471
19, 0.052631578947368421052631578947368
23, 0.043478260869565217391304347826087
29, 0.034482758620689655172413793103448
31, 0.032258064516129032258064516129032
...

gxqcn

这本身是个非常浅显的问题，楼上引用的回复已经足够明了。

另外，你是不是在发新主题中点了“更多设定”，而后又在“售价”里填写了数字？
若这样发帖就成了收费主题，别人参与你的讨论反而得先付费了。