求助平面几何

Iwara

平面上四边形 ABCD 为凸四边形，连接 AC,BD，E,F,G,H分别为△ABC.△ADC.△ABD.△BCD 的外接圆圆心。连接 EG、FG、EH、FH。求四边形ABCD和四边形 EGFH形状相同的充要条件。      
图：https://www.geogebra.org/m/sgafaunp

hujunhua

由连心线垂直于相交弦可得 EG⊥AB，GF⊥DA, FH⊥CD, HE⊥BC, EF⊥AC, GH⊥BD
所以  ∠G=π-∠A， ∠F=π-∠D，∠H=π-∠C，∠E=π-∠B, ∠G=π-∠A， ∠F=π-∠D
要四边形ABCD和四边形 EGFH形状相同，必要条件是内角对应相等，如何对应呢？
对应一：G=A, F=D, H=C, E=B, 得矩形ABCD，则EGFH重合为一点，舍
对应二：G=C, F=B, H=A, E=D, 得圆内接四边形ABCD，EGFH亦重合为一点，舍
所以只有G=B或者D，不妨假设G=B, 则E=A，所以AD∥BC，得梯形ABCD。
这是必要条件之一. 由于对角线对应垂直，可知这也是充分条件。

Iwara

hujunhua 发表于 2023-7-26 08:48
由连心线垂直于相交弦可得 EG⊥AB，GF⊥DA, FH⊥CD, HE⊥BC, EF⊥AC, GH⊥BD
所以  ∠G=π-∠A， ∠F=π- ...

为什么是充分条件, 边成比例呢?