关于4n+1形素数的两平方和表示 敬请高人

纸上谈兵

大家知道对任意素数`p=4n+1`, `p=a^2+4b^2`有唯一正整数解`(a,b)`.  求证`C_{2n-1}^n≡±a\pmod p`
例1: `p=5`时，`n=1,(a,b)=(1,1)`, `C_{2n-1}^n=C_1^1=1≡a\pmod 5`.
例2: `p=13`时，`n=3,(a,b)=(3,1)`, `C_{2n-1}^n=C_5^3=10≡-a\pmod{13}`

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1. Clear["Global`*"];(*清除所有变量*)
   
2. p=97
   
3. n=(p-1)/4
   
4. t=Binomial[2*n-1,n](*计算组合数*)
   
5. Mod[t,p](*计算余数*)
   
6. PowersRepresentations[p,2,2](*把p写成两个平方数的和*)
   

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测试了几个数，感觉是成立的，但是我不会证明，尤其是这涉及到了阶乘。

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应该要用威尔逊定理变形，但是我不会