广义反原根

manthanein

给定奇素数\(p\)，如果素数幂\(q\)使得对于任意整数\(k\)，\(\abs{kq+p}\)必然有一个不小于\(p\)的质因数，同时\(q\)的最小原根也包含不小于\(p\)的质因数，那么称\(q\)是\(p\)的广义反原根。

给定奇素数\(p\)，求它最小的广义反原根\(f(p)\)。

我已经算出\(f(3)=4\)（显然），\(f(5)=97\)，\(f(7)=409\)，后面数字太大算不下去了。OEIS还没收录。

nyy

我表示看不懂，我需要一个更详细的例子

manthanein

显然\(\abs{4k+3}\)是奇数，肯定有一个不小于3的质因数。

设\(\abs{97k+5}=2^a3^b\)，所以\(2^a3^b \equiv \pm5 \pmod {97}\)，注意到\(3^{43} \equiv 2 \pmod{97}\)，所以\(3^{43a+b} \equiv \pm5 \pmod {97}\)，这不可能。

大概就这样。