四面体12个棱面角的三角和

lihpb00

四面体的棱面角即棱与面的夹角。6条棱，每条棱是两个面的交，它与其它两个面存在夹角，故共是12个棱面角。
将四面体ABCD的顶点所对的面对应地记为a,b,c,d. 12个棱面角可记为
∠AB-a, ∠AB-b, ∠BC-b, ∠BC-c, ∠CD-c, ∠CD-d, ∠DA-d, ∠DA-a, ∠AC-a, ∠AC-c, ∠BD-b, ∠BD-d.

命题1：四面体12个棱面角的正弦之和≤4√6.
命题2：四面体12个棱面角的余弦之和≤4√3.
当且仅当该四面体为正四面体的时候，等号成立.

命题1我自己可以证出来，但我想知道有没有别的方法。
命题2只是猜想，有待证明。

lihpb00

棱与面的夹角有互补的两个，所以棱面角的定义存在一个取向问题。

在命题1中取正弦值，棱面角的取向不影响结果.
但命题2中取余弦值，棱面角的取向影响各余弦项的正负号，需要仔细定义.

将四面体的棱面角取为“内角”是“自然”的想法，但是“内角”、“外角”并不总是自然明确的。
当四个顶点在对面的投影都落在面内时，“内角”表现得比较直观，都取锐角。
当某个顶点在对面的投影落在面外时，“内角”表现就不直观了，需要明确的定义。

如图，当A点在对面a上的投影落在∠CBD内时，棱面角AB-a取锐角比较自然。
当A点在对面a上的的投影落在∠CBD的对顶角内（红色角区）时，棱面角AB-a取钝角也比较自然。
但是当A点在对面a上的的投影落在∠CBD的补角内（绿色角区）时，棱面角AB-a的取向就不那么明确了。

nyy

我只会做实验，随机生成四面体，然后计算12个正弦值，然后计算和，然后验证是否成立！

hujunhua

建议棱面角的定义不要取为棱与棱在面上投影的夹角，这样定义的取向问题确实会造成困扰。
可以考虑定义为棱与面的法线的夹角。法线方向取为指向四面体内，那么棱面角都是锐角。
如此一来，命题1和命题2的结果就交换过来了：
命题1：四面体12个棱面角的正弦之和≤4√3.
命题2：四面体12个棱面角的余弦之和≤4√6.

对于垂心四面体来说，这样定义的棱面角就是垂心与各顶点的连线与过该顶点的棱的夹角。

lihpb00

hujunhua 发表于 2023-8-2 16:07
建议棱面角的定义不要取为棱与棱在面上投影的夹角，这样定义的取向问题确实会造成困扰。
可以考虑定义为棱 ...

其实不用考虑正负，你只要能证明这个贴里面的问题就行了。
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19014-1-1.html

上面那个贴里面的不等式算是个引理

lihpb00

nyy 发表于 2023-8-2 08:40
我只会做实验，随机生成四面体，然后计算12个正弦值，然后计算和，然后验证是否成立！

那你验证余弦那个就行，正弦的那个我已经证明了，余弦取内角是会出现负值的

hujunhua

lihpb00 发表于 2023-8-5 22:25
其实不用考虑正负，你只要能证明这个贴里面的问题就行了。
https://bbs.emath.ac.cn/thread-19014-1-1.h ...

A 和 B 在对面的投影 A’、B’ 是可以同时落在 a, b 之外的，你不规定“内角”怎么取，就有可能A, B皆钝角，不等式
cosA+cosB>=2sin(x/2)
还怎么成立？

2#的 A’ 落在补角区（绿色角区）的问题必须厘清，否则涉及余弦值的不等式毫无意义。

lihpb00

hujunhua 发表于 2023-8-7 08:57
A 和 B 在对面的投影 A’、B’ 是可以同时落在 a, b 之外的，你不规定“内角”怎么取，就有可能A, B皆 ...

A’ 落在补角区（绿色角区）的余弦取向其实是可以明确划分的，我一开始忘了写出来。

以2楼图为例，不妨设 A’ 在靠近BC边的补角区内。在∠CBD内取一点E，使AB⊥BE。
当∠CBE≥∠DBE时，AB与∠CBD所成的棱面角为锐角；
当∠CBE<∠DBE时，AB与∠CBD所成的棱面角为钝角。

换言之，BE将平面BCD分成两侧：
若∠CBD完全位于BE的其中一侧则AB与∠CBD所成的棱面角为锐角，
若∠CBD完全位于BE的另一侧则棱面角为钝角；
当BE在∠CBD内，则比较∠CBE与∠DBE的大小，大小相等时默认余弦取正值。

https://bbs.emath.ac.cn/thread-19014-1-1.html
在另一个贴里面，同一条棱的两个棱面角其实没可能同为钝角，必然至少有一个为锐角。
因为当这条棱的对棱如果趋向于0，就会退化为三角形，原来的二面角x会变为三角形的内角，三角形当然没可能同时存在两个钝角。

sinA+sinB<=2cos(x/2)
上面这个不等式我是用角平分面公式变形证出来，所以没考虑过正负值的问题，但
cosA+cosB>=2sin(x/2)
没办法用同样的办法证出来，但我觉得还是有其他的办法证出来。
上面两个不等式等号成立的充要条件是CD所夹的角平分面垂直平分AB

四面体全体二面角一半的正余弦之和其实是另外有几何不等式的，只要证明出同棱两棱面角正余弦之和与对棱二面角半角的不等式，再套用二面角一半的正余弦之和不等式就可以证明这个帖子1楼的问题。

hujunhua

lihpb00 发表于 2023-8-8 11:23
A’ 落在补角区（绿色角区）的余弦取向其实是可以明确划分的，我一开始忘了写出来。

以2楼图为例， ...

当 A 在对面 a 上的射影 A’ 落在绿色角区时，有三种处理方法：
1）一律取为钝角或者锐角
2）以外角平分线为界（左图），A' 在界线外侧取钝角，在三角形CBD同侧取锐角。
3）以平行于CD过B的平行线为界（右图 )，A' 在界线外侧取钝角，在三角形CBD同侧取锐角。

棱面角的取向应该遵循这样一条法则：互补角区保持互补关系。那么
方法1）肯定是不自洽的，因为绿色角区有对顶互补两个区，不能笼统地都取钝角或者锐角。
方法2）和方法3）都能符合这一法则。
题主在楼上的描述，可否理解为第2种分界方法？

无论是2）还是3），都有一个疑点：分界线上怎么取？
分界线在B点两侧是互补的，怎么满足“互补角区保持互补关系”这一原则？
最后，这样定义的棱面角，在代数上具有一致的形式吗？

lihpb00

hujunhua 发表于 2023-8-8 13:10
当 A 在对面 a 上的射影 A’ 落在绿色角区时，有三种处理方法：
1）一律取为钝角或者锐角
2）以外角 ...

我认为应该要以外角平分线为界。
至于边界上的余弦取值，我比较主张默认为锐角取正值。由于一楼的不等式方向是小于等于，如果在边界上全取正值都成立的话，一楼的命题就是必然成立的。

但如果要求分界线在B点的两侧互补，即一侧余弦为正而另一侧为负。这样的话可以将四面体放至三维空间直角坐标系。
先比较A、B两点在x轴上的坐标，如果A坐标大于B的话棱面角余弦就取正值，反之则取负值。
若A、B两点在x轴上的坐标相等，再比较其在y轴的坐标，若y轴坐标也相等则最后比较在z轴上的坐标。
当然，将四面体各顶点放在单位球面上，比较经纬坐标(比如优先顺序可以是先经后纬)也可以。

至于在代数上有没有一致的形式，这个我不知道。
由于线线角和二面角都有内外角之分，我认为棱面角都应该有锐角和钝角。
如果一个三面角里面的三个线线角都为钝角的话，我认为这个时候三个棱面角都应该规定为钝角，如果还是看成锐角且余弦取正值的话明显是不合理的。

之所以引入棱面角内角的设定，是因为如果棱面角余弦全取正值的话，一楼的余弦不等式是明显不成立的(当A点在BCD所在的平面上此时四面体将退化为三角形，12个棱面角余弦和为12)。
这种情形即使修改不等式的取值范围（这种情况下不等式的方向会变成大于等于某个最小值），这样的话正四面体棱面角余弦和也取不到最小值（此时能取等号的最小值应该是直角四面体而不是正四面体）。
引入钝角的意义就是为了可以让不等式当且仅当为正四面体的时候等号成立，这样才是一个合格的几何不等式。